Fokus 1
Die Eigenschaften der Gase

Lösungen zu den Selbsttests

Abschnitt 1.1 Das ideale Gas

1.1 Gemäß Gl. (1.9a) erhalten wir das molare Volumen einer Substanz, indem wir das Volumen der Probe durch die Anzahl der Moleküle dividieren, die darin enthalten sind: Vm = V/n. Die Zustandsgleichung des idealen Gases ist in Gl. (1.5a) angegeben. Nach Umstellen der Gleichungen können wir die gegebenen Werte einsetzen - beachten Sie dabei, die Temperatur in der Einheit Kelvin und den Druck in der Einheit Pascal anzugeben:

Diese Einheiten lassen nicht unmittelbar erkennen, dass es sich um eine Volumenangabe pro Mol handelt. Wenn wir allerdings berücksichtigen, dass 1 Pa = 1J m-3 ist, erhalten wir

oder, wegen 10-3 m3 = 1 dm3,

1.2 Wir verwenden die Zustandsgleichung des idealen Gases, Gl. (1.5a),

und beachten, dass die Anzahl der CO2-Moleküle durch das Verhältnis der Masse zur Molmasse von Kohlendioxid gegeben ist, n = m/M. Nach Umstellen von Gl. (1.5a) erhalten wir

Die Molmasse von Kohlendioxid ist

Nun setzen wir die Werte ein und erhalten für den Druck:

1.3 Mithilfe der kombinierten Gasgleichung, Gl. (1.10), lassen sich die Änderungen von Druck, Volumen und Temperatur einer definierten Menge eines (idealen) Gases berechnen:

Wir stellen die Gleichung nach der unbekannten Größe um und setzen die gegebenen Werte ein (denken Sie daran, die Temperatur in der Einheit Kelvin anzugeben). Für den Enddruck des betrachteten Gases ergibt sich

1.4 Der Partialdruck einer Komponente J in einem Gas ist gemäß Gl. (1.12) definiert über den Stoffmengenanteil (Molenbruch) der Komponente und den Gesamtdruck p, als pJ = xJp. Der Stoffmengenanteil xJ ist nach Gl. (1.13a) definiert als xJ = nJ/n, wobei die Stoffmenge jedes Gases aus dem Verhältnis der Masse zu seiner Molmasse berechnet werden kann, nJ = mJ/MJ. Durch Kombination dieser Gleichungen erhalten wir

Die Molmasse von Sauerstoff, O2, ist

und die Molmasse von Kohlendioxid, CO2, ist

Für die binäre Mischung in dieser Aufgabe ergibt sich für O2 ein Partialdruck von

und für CO2 ergibt sich ein Partialdruck von

Abschnitt 1.2 Die kinetische Gastheorie

1.5 Die mittlere Geschwindigkeit der Autos lässt sich mithilfe von Gl. (1.18) berechnen:

Wenn wir alternativ den Mittelwert anhand der gegebenen Daten einzeln berechnen (vgl. Illustration 1.3 in Abschn. 1.2.1 des Lehrbuchs), erhalten wir

Die Differenz ergibt sich aus der Tatsache, dass die Anzahl der Autos in jeder Gruppe (Stichprobe) nicht groß genug ist, um sicherzustellen, dass die Beziehung zwischen der quadratisch gemittelten und der mittleren Geschwindigkeit, Gl. (1.18), präzise aufgeht.

1.6 Gemäß Gl. (1.20a) gilt für die quadratisch gemittelte Geschwindigkeit

Die Molmasse von H2 ist

Nach Einsetzen in Gl. (1.20a) erhalten wir

1.7 Die mittlere Geschwindigkeit und die quadratisch gemittelte Geschwindigkeit hängen über die Beziehung miteinander zusammen, die in Gl. (1.18) angegeben ist: . Diese Beziehung ist unabhängig von der Temperatur und somit konstant. Daher müssen sich das Verhältnis der mittleren Geschwindigkeiten und das Verhältnis der quadratisch gemittelten Geschwindigkeiten um denselben Faktor ändern, nämlich um 0,957 (vgl. Illustration 1.5 in Abschn. 1.2.2 des Lehrbuchs).

1.8 Das Graham'sche Effusionsgesetz, Gl. (1.22), besagt, dass die Effusionsrate eines Gases bei einem gegebenen Druck und einer gegebenen Temperatur umgekehrt proportional zur Quadratwurzel der Molmasse des Gases ist. Das Verhältnis der Effusionsraten der Argonatome und der Stickstoffmoleküle ist daher gegeben durch

Dieses Verhältnis bezieht sich auf die Anzahl der entweichenden Atome oder Moleküle, und nicht auf deren Massen, sodass sich für die Stoffmenge des entweichenden Stickstoffs ergibt:

Wir erinnern uns daran, dass wir die Stoffmenge einer Substanz aus dem Verhältnis ihrer Masse und ihrer Molmasse berechnen können, nJ = mJ/MJ, und erhalten

1.9 Der Stoßquerschnitt eines Cl2-Moleküls beträgt 0,93 nm2 und die Molmasse ist M = 70,90 g mol-1. Für die Stoßzahl erhalten wir gemäß Gl. (1.25)

Es finden also 10 Stöße pro Nanosekunde statt.

Abschnitt 1.3 Reale Gase

1.10 Der Kompressionsfaktor Z ist in Gl. (1.26a) definiert. Wir berücksichtigen unmittelbar das um 12 % abweichende (größere) Volumen des betrachteten realen Gases:

Eine andere Notation für den Kompressionsfaktor in Abhängigkeit von Druck und Temperatur finden wir in Gl. (1.26b). Zur Berechnung des molaren Volumens stellen diese Gleichung wie folgt um (und wir berücksichtigen, dass 1 atm = 1,013 25 × 105 Pa ist):

Die Einheiten ergeben sich wegen 1 Pa = 1J m-3 und 10-3 m3 = 1 dm3.

Wir stellen fest: Das Volumen des betrachteten Gases ist größer, als man es für ein ideales Gas unter diesen Bedingungen erwarten würde. Daraus lässt sich schließen, dass abstoßende Wechselwirkungen dominieren, die die Gasmoleküle dazu zwingen, sich weiter voneinander zu entfernen als dies bei einem idealen Gas der Fall wäre.

1.11 Durch Umstellen der Virialgleichung, Gl. (1.28), und Einsetzen der angegebenen Werte erhalten wir für den Druck

Lösungen zu den Übungen

Abschnitt 1.1 Das ideale Gas

1.1.1 Mithilfe entsprechender Umrechnungsfaktoren können wir den Druck in unterschiedlichen Einheiten angeben. Es gilt: 1 atm = 1,013 25 bar = 101,325 kPa = 760 Torr. Daraus folgt:

1. (a) Ein Druck von 108 kPa entspricht
2. (b) Ein Druck von 0,975 bar entspricht
3. (c) Ein Druck von 22,5 kPa entspricht
4. (d) Ein Druck von 770 Torr entspricht

1.1.2 Für die Berechnung nutzen wir die Zustandsgleichung des idealen Gases, Gl. (1.5a), und achten dabei sorgsam auf die verwendeten Einheiten:

1.1.3 Für die Berechnung nutzen wir die Zustandsgleichung des idealen Gases, Gl. (1.5a). Die Stoffmenge des Neons lässt sich aus dessen Masse und der Molmasse gemäß n = m/M berechnen:

1.1.4 Durch Umstellen der Zustandsgleichung des idealen Gases, Gl. (1.5a), erhalten wir

1.1.5 Wir nutzen die Differenz zwischen der Masse des vollen und des leeren Zylinders, um einen Ausdruck für die Stoffmenge des Kohlendioxidgases aufzustellen:

Wenn wir diese Beziehung in die Zustandsgleichung des idealen Gases, Gl. (1.5a), einsetzen, erhalten wir für den Druck des Gases:

1.1.6 Das Boyle'sche Gesetz, Gl. (1.6), besagt, dass bei konstanter Temperatur der Druck p umgekehrt proportional zum Volumen V ist: p ? 1/V. Aus der kombinierten Gasgleichung, Gl. (1.10), folgt, dass bei konstanter Temperatur gilt:

Wenn wir die Anfangsbedingungen mit p1 und V1 bezeichnen, und die Endbedingungen als p2 und V2, dann erhalten wir für den benötigten Druck:

1.1.7 Bei einem idealen Gas steigt der Druck proportional mit der Temperatur an. Aus der kombinierten Gasgleichung, Gl. (1.10), können wir erkennen, dass für eine bestimmte Menge Gas in einem festen Volumen das Verhältnis von Druck und Temperatur stets konstant bleibt:

Wir bezeichnen die Anfangsbedingungen mit p1 und T1, und die Endbedingungen mit p2 und T2. Somit erhalten wir für den Druck bei 700 °C:

1.1.8 Wir verwenden dieselbe Methode wie in Übung 1.1.6 beschrieben und erhalten:

1.1.9 Das Charles'sche Gesetz, Gl. (1.7), besagt, dass bei konstantem Druck das Volumen proportional zur Temperatur ist, V ? T. Aus der kombinierten Gasgleichung, Gl. (1.10), folgt bei konstantem Druck:

Wir bezeichnen die Anfangsbedingungen mit V1 und T1, und die Endbedingungen mit V2 und T2. Somit erhalten wir

Dies entspricht einer Temperatur auf der Celsius-Skala von

1.1.10 Wir gehen nach derselben Methode vor wie in Übung 1.1.9 beschrieben. Wenn sich das Volumen das Gasprobe um 25 % erhöht, dann ist V2/V1 = 1,25. Die Luft muss also auf folgende Temperatur aufgeheizt werden:

1.1.11 Die kombinierte Gasgleichung, Gl. (1.10), beschreibt den Zusammenhang zwischen dem Druck, dem Volumen und der Temperatur für eine konstante Gasmenge. Durch Umstellen der Gleichung erhalten wir

1. (a) Für einen Druck von 52 kPa bei -5,0 °C gilt
2. (b) Für einen Druck von 0,880kPa bei -52,0 °C erhalten wir

1.1.12 Wir verwenden die Zustandsgleichung des idealen Gases, Gl. (1.5a), und drücken die abgegebene Menge des Schwefeldioxidgases über seine Masse, m, und seine Molmasse, M, aus:

1.1.13 Der Stoffmengenanteil (auch Molenbruch genannt) ist in Gl. (1.13a) definiert. Die Stoffmenge der Gesamtprobe erhalten wir aus der Summe der Stoffmengen für jede der einzelnen...