Mathematische Algorithmen mit Python

Materialien zum Buch ... 13


1. Einführung ... 15


1.1 ... Entwicklungsumgebungen ... 20

1.2 ... Die Installation der Module ... 23

1.3 ... Schlüsselwörter von Python ... 26

1.4 ... Maschinengenauigkeit, Rundungsfehler und Stellenauslöschung ... 28

1.5 ... Algorithmenbegriffe ... 32



2. Datentypen und Datenstrukturen ... 35


2.1 ... Tupel ... 36

2.2 ... Sets ... 43

2.3 ... Listen ... 47

2.4 ... Dictionary ... 52

2.5 ... Zusammenfassung ... 57

2.6 ... Aufgaben ... 58



3. Programmstrukturen ... 59


3.1 ... Mathematische Operatoren ... 60

3.2 ... Die lineare Programmstruktur ... 61

3.3 ... Verzweigungsstrukturen ... 64

3.4 ... Wiederholstrukturen ... 68

3.5 ... Unterprogrammtechnik mit Funktionen ... 79

3.6 ... Laufzeitkomplexität ... 86

3.7 ... Aufgaben ... 89



4. Die Python-Erweiterungsmodule NumPy, Matplotlib, SymPy und SciPy ... 91


4.1 ... NumPy ... 92

4.2 ... Matplotlib ... 100

4.3 ... SymPy ... 107

4.4 ... SciPy ... 110

4.5 ... Aufgaben ... 114



5. Zahlen ... 117


5.1 ... Natürliche Zahlen ... 121

5.2 ... Rationale Zahlen ... 152

5.3 ... Irrationale Zahlen ... 155

5.4 ... Transzendente Zahlen ... 160

5.5 ... Aufgaben ... 170



6. Gleichungssysteme ... 171


6.1 ... Lineare Gleichungssysteme ... 171

6.2 ... Iterative Verfahren ... 201

6.3 ... Nichtlineare Gleichungssysteme ... 213

6.4 ... Aufgaben ... 216



7. Folgen ... 219


7.1 ... Divergente Folgen ... 219

7.2 ... Differenzfolgen ... 223

7.3 ... Konvergente Folgen ... 225

7.4 ... Rekursive Folgen ... 229

7.5 ... Geometrische Folgen ... 230

7.6 ... Der Grenzwert von Folgen ... 234

7.7 ... Aufgaben ... 238



8. Stetige Funktionen ... 239


8.1 ... 2D-Funktionsplots ... 240

8.2 ... 3D-Funktionsplots ... 249

8.3 ... Animationen ... 255

8.4 ... Aufgaben ... 262



9. Differenzialrechnung ... 263


9.1 ... Der Differenzenquotient ... 265

9.2 ... Optimale Schrittweite ... 269

9.3 ... Simulation des Grenzwertprozesses ... 271

9.4 ... Tangenten- und Normalengleichung ... 274

9.5 ... Höhere Ableitungen ... 280

9.6 ... Berechnung von Nullstellen mit dem Newton-Verfahren ... 282

9.7 ... Kurvendiskussion ... 288

9.8 ... Aufgaben ... 306



10. Reihen ... 307


10.1 ... Divergierende Reihen ... 308

10.2 ... Konvergente Reihen ... 313

10.3 ... Geometrische Reihen ... 322

10.4 ... Potenzreihen und die Taylor-Entwicklung ... 327

10.5 ... Aufgaben ... 336



11. Integralrechnung ... 337


11.1 ... Die Stammfunktion ... 337

11.2 ... Flächenberechnung ... 341

11.3 ... Verfahren der numerischen Integration ... 344

11.4 ... Bogenlängen ... 360

11.5 ... Rotationskörper ... 364

11.6 ... Zweifachintegrale ... 370

11.7 ... Aufgaben ... 377



12. Differenzialgleichungen ... 379


12.1 ... Das eulersche Polygonzug-Verfahren ... 380

12.2 ... Richtungsfelder ... 385

12.3 ... Differenzialgleichungen 1. Ordnung ... 387

12.4 ... Nichtlineare Differenzialgleichungen 2. Ordnung ... 394

12.5 ... DGL-System für ein gekoppeltes Fadenpendel ... 399

12.6 ... DGL-System mit zwei Unbekannten ... 402

12.7 ... DGL-System mit drei Unbekannten ... 404

12.8 ... Optimierungen des Euler-Verfahrens ... 407

12.9 ... Lösung von Differenzialgleichungen mit SymPy ... 410

12.10 ... Aufgaben ... 414



13. Ausgleichsrechnungen ... 415


13.1 ... Lineare Ausgleichsprobleme ... 415

13.2 ... Nichtlineare Ausgleichsprobleme ... 434

13.3 ... Aufgaben ... 439



14. Algorithmen für die Berechnung statistischer Kennzahlen ... 441


14.1 ... Normalverteilte Zufallszahlen erzeugen ... 442

14.2 ... Lageparameter ... 446

14.3 ... Streuparameter ... 456

14.4 ... Strukturparameter ... 460

14.5 ... Aufgaben ... 465



15. Fraktale ... 467


15.1 ... Turtle-Grafik ... 468

15.2 ... Die kochsche Schneeflocke ... 471

15.3 ... Das Sierpinski-Dreieck ... 476

15.4 ... Der Pythagoras-Baum ... 480

15.5 ... Mandelbrot- und Julia-Mengen ... 484

15.6 ... Aufgaben ... 496



Anhang ... 497


A.1 ... Wichtige mathematische Begriffe und Sätze ... 497

A.2 ... Matplotlib-Eigenschaften ... 500

A.3 ... Literaturverzeichnis ... 502



Index ... 504