Cluster Formation of Two-Level Branching Brownian Motion in Dimensions One to Four

In dieser Dissertation wird das Langzeitverhalten einer zweistufig binär und kritisch verzweigenden Brownschen Bewegung in den Dimensionen 1 bis 4 untersucht -- der Bereich in dem Clusterbildung stattfindet. Aus verhergehenden Arbeiten und Veröffentlichungen ist bereits das Verhalten für Dimensionen d > 4 bekannt.

Wir können zeigen, dass das Langzeitverhalten neben der Dimension auch von der Wahl der Startverteilung abhängt. Drei Klassen von Startverteilungen werden dabei unterschieden. Es ergibt sich folgendes Bild:
- Für Dimension 1 ist das Verhalten komplett unabhängig von der Wahl der Startverteilung. Es bilden sich nicht-diffusive Cluster mit asymptotischer Masse t{3/2}.
- Für Dimension 2 und 3 kann der Typ der Startverteilung Einfluss auf die Masse der Cluster haben, die immer nicht-diffusiven Cluster haben asymptotisch Masse t für d=2 oder t{1/2} bzw. t für d=3, je nach Wahl der Startverteilung.
- Für Dimension 4 zeigt sich nur für die "klassiche" Startverteilung die für kritische Dimensionen typischen diffusiven Cluster mit asymptotische Masse log t. Andernfalls sind die Cluster nicht-diffusiv mit Masse t{1/2} oder t.

Für die Untersuchung des Langzeitverhaltens bedienen wir uns des ersten und zweiten Momentenmaßes, die bereits die Masse und räumliche Ausdehnung der Cluster bestimmen.