Lineare Algebra

1 Die euklidischen Vektorräume ?2 und ?3.- 1.1 Der euklidische Vektorraum ?2.- 1.2 Der euklidische Vektorraum ?3.- 1.3 Anwendungen und Beispiele.- 1.4 Aufgaben zu Kapitel 1.- 1.5 Entscheidungshilfen und Literaturhinweise zu Kapitel 1.- 2 Vektorräume, lineare Abbildungen, Matrizen.- 2.1 Vektorräume über ? oder ?.- 2.2 Beispiele.- 2.3 Erste Folgerungen aus den Vektorraumaxiomen.- 2.4 Lineare Abhängigkeit, Basis, Dimension, Steinitzscher Austauschsatz.- 2.5 Koordinaten, Unterräume und lineare Mannigfaltigkeiten.- 2.6 Anwendungen und Beispiele.- 2.7 Aufgaben zu Kapitel 2.- 2.8 Entscheidungshilfen und Literaturhinweise zu Kapitel 2.- 3 Lineare Abbildungen und Matrizen.- 3.1 Lineare Abbildungen, Matrizen.- 3.2 Das Matrizenprodukt.- 3.3 Regeln für das Rechnen mit Matrizen.- 3.4 Lineare Abbildungen und lineare Gleichungssysteme.- 3.5 Rang einer Matrix.- 3.6 Anwendungen und Beispiele.- 3.7 Aufgaben zu Kapitel 3.- 3.8 Entscheidungshilfen und Literaturhinweise zu Kapitel 3.- 4 Lineare Gleichungssysteme, Determinanten.- 4.1 Lösungen linearer Gleichungssysteme.- 4.2 Bemerkungen und Beispiele.- 4.3 Der Gaußsche Algorithmus, LR-Zerlegung von Matrizen.- 4.4 Das Verfahren von Gauß-Jordan.- 4.5 Determinanten.- 4.6 Anwendungen und Beispiele.- 4.7 Aufgaben zu Kapitel 4.- 4.8 Entscheidungshilfen und Literaturhinweise zu Kapitel 4.- 5 Skalarprodukte, Normen, Orthogonale, Transformationen.- 5.1 Skalarprodukte, Normen.- 5.2 Normierte und metrische Räume, Banachscher Fixpunktsatz.- 5.3 Äquivalenz von Normen, Normen linearer Abbildungen.- 5.4 Orthogonalsysteme, Orthonormalbasen, orthogonale Unterräume.- 5.5 Adjungierte, orthogonale und unitäre Transformationen.- 5.6 Anwendungen und Beispiele.- 5.7 Aufgaben zu Kapitel 5.- 5.8 Entscheidungshilfen und Literaturhinweise zuKapitel 5.- 6 Numerische Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme.- 6.1 Fehlerabschätzungen, Konditionszahlen.- 6.2 Bemerkungen zum Gaußschen Eliminationsverfahren.- 6.3 Cholesky-Zerlegung.- 6.4 QR-Zerlegung nach Householder.- 6.5 Iterationsverfahren zur Lösung von Gleichungssystemen.- 6.6 Beispiele und Aufgaben.- 6.7 Hinweise zur Auswahl der Verfahren und auf weitere Literatur.- 7 Eigenwertprobleme und Normalformen.- 7.1 Problemstellung.- 7.2 Eigenwerte und Eigenvektoren.- 7.3 Spur, Minimalpolynom und Spektrum.- 7.4 Spektralsatz und Hauptachsentransformation.- 7.5 Die Jordansche Normalform.- 7.6 Einige Anwendungen der Jordanschen Normalform.- 7.7 Die schwingende Saite.- 7.8 Aufgaben zu Kapitel 7.- 7.9 Entscheidungshilfen und Literaturhinweise zu Kapitel 7.- 8 Numerische Verfahren zur Lösung von Eigenwertproblemen.- 8.1 Fehlerabschätzungen und Einschließungssätze.- 8.2 Die Potenzmethode (Vektoriteration nach v. Mises).- 8.3 Die gebrochene Vektoriteration.- 8.4 Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen in Hessenbergform.- 8.5 Transformation auf Hessenbergform.- 8.6 Beispiele und Aufgaben.- 8.7 Bemerkungen zur Auswahl der Verfahren und Hinweise auf weitere Literatur.- Lösungen der Aufgaben.- 1.- 2.- 3.- 4.- 5.- 6.- 7.- 8.- Sachwortverzeichnis.