
Höhere Mathematik 2
Differentialgleichungen · Funktionentheorie Fourier-Analysis · Variationsrechnung
Springer (Publisher)
3rd Edition
Published on 9. September 1999
Book
Paperback/Softback
XIV, 458 pages
978-3-540-66150-4 (ISBN)
Article exhausted; check for reprint
Description
Dieses zweibändige Lehrbuch über Höhere Mathematik hat sich zum Standardwerk in der mathematischen Ausbildung von Ingenieuren entwickelt. Hervorgegangen aus langjähriger Lehrtätigkeit der Autoren an der Technischen Universität in München, bietet es Studenten technischer Disziplinen eine gründliche Einführung in alle relevanten Themen. Es stellt konkrete und studentenfreundliche Rechenschemata zur Verfügung, die hervorragend zur Prüfungsvorbereitung geeignet sind. Eindrucksvolle Abbildungen sowie praxisbezogene Beispiele verdeutlichen die vorgestellten Konzepte auf anschauliche Weise. Ideal geeignet als Vorlesungsbegleiter, Repetitorium für Prüfungen und Nachschlagewerk in der Praxis.
Reviews / Votes
"Der Band besticht (wie auch Band 1) durch die Fülle der glänzend ausgewählten Anwendungsaufgaben aus klassischen Ingenieurdisziplinen. Ein herausragendes Werk..." Internationale mathematische Nachrichten"In kurzer Zeit ist dieses vorzügliche, preisgünstige Lehrbuch zu einem Standardwerk geworden...bietet eine gut verständliche, umfassende Einführung in die relevanten Themen über Differentialgleichungen, Funktionentheorie, Fourieranalysis und Variationsrechnung und eignet sich ideal als Vorlesungsbegleiter, Nachschlagewerk oder zur Prüfungsvorbereitung. Viele praxisbezogene Beispiele, Aufgaben, einprägsame Bemerkungen, Begründungen, ballastfreie Beweise und Definitionen weisen die Autoren als erfahrene Meister ihres Faches aus." Monatshefte für Mathematik
"... Standardnachschlagewerk zur Grundvorlesung der Höheren Mathematik ..."
Zentralblatt für Mathematik und ihre Grenzgebiete
"... Die zahlreichen Aufgaben im Text sind so gestaltet, daß man Lust bekommt, sich damit zu befassen. ..."
ZAMM - Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik 71, 516
More details
Series
Edition
3. korr. Aufl.
Language
German
Place of publication
Heidelberg
Germany
Publishing group
Springer Berlin
Target group
Professional and scholarly
Upper undergraduate
Dimensions
Height: 23.5 cm
Width: 15.5 cm
Weight
714 gr
ISBN-13
978-3-540-66150-4 (9783540661504)
DOI
10.1007/978-3-642-98066-4
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Content
9. Gewöhnliche Differentialgleichungen.- §1. Einführung.- 1.1 Grundbegriffe.- 1.2 Anfangswertprobleme.- 1.3 Geometrische Bedeutung der DGL 1. Ordnung.- §2. Spezielle Differentialgleichungen 1. Ordnung.- 2.1 Exakte Differentialgleichungen.- 2.2 Trennbare Differentialgleichungen.- 2.3 Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung.- 2.4 Der integrierende Faktor.- 2.5 Integration durch Substitution.- 2.6 Integration durch Differentiation.- Aufgaben.- §3. Spezielle Differentialgleichungen 2. Ordnung.- 3.1 Lineare DGLn 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten.- 3.2 Komplexifizierung und die komplexe Exponentialfunktion.- 3.3 Ein Fundamentalsystem für die homogene lineare DGL.- 3.4 Die Lösungen der inhomogenen DGL.- 3.5 Lineare mechanische Schwingungen.- 3.6 Der RCL-Schwingkreis.- 3.7 Die DGL vom Typ y? = f (x, y?).- 3.8 Die DGL vom Typ y? = f (y, y?).- Aufgaben.- §4. Existenzsätze.- 4.1 Der Existenz-Satz von Peano.- 4.2 Die L-Bedingung.- 4.3 Approximation durch Picard-Iteration.- 4.4 Die stetige Abhängigkeit der Lösung von den Anfangswerten.- 4.5 Die stetige Abhängigkeit der Lösung von der rechten Seite.- Aufgaben.- §5. Numerische Lösung des Anfangswertproblems 1. Ordnung.- 5.1 Einschrittverfahren.- 5.2 Fehlerabschätzungen.- 5.3 Schrittweitenkontrolle.- Aufgaben.- §6. Die Laplace-Transformation.- 6.1 Grundlagen.- 6.2 Rechenregeln.- 6.3 Anwendungen.- 6.4 Die Dirac-Deltafunktion.- 6.5 L-Tabelle. Allgemeine Regeln und wichtige Korrespondenzen.- Aufgaben.- §7. Lösung mittels Potenzreihenansatz.- 7.1 Der Potenzreihenansatz.- 7.2 Der modifizierte Ansatz.- 7.3 Die Bessel-DGL.- 7.4 Die Legendre-DGL.- Aufgaben.- §8. DGL-Systeme und DGLn höherer Ordnung.- 8.1 GrundsätzHches, Beispiele.- 8.2 Der EE-Satz.- 8.3 Lineare DGL-Systeme, die Grundprinzipien.- 8.4 Lineare DGLn n-ter Ordnung.- Aufgaben.- §9. Lineare DGL-Systeme mit konstanten Koeffizienten.- 9.1 Die Schur-Normalform und Hauptvektoren.- 9.2 Die Matrix-Exponentialfunktion.- 9.3 Die allgemeine Lösung, Fundamentalsysteme.- 9.4 Lösungsbasis mit Eigen- und Hauptvektoren.- 9.5 Der Fall n = 2.- 9.6 Das inhomogene lineare DGL-System.- 9.7 Die Eliminationsmethode.- 9.8 Die homogene lineare DGl n-ter Ordnung.- 9.9 Die inhomogene lineare DGL n-ter Ordnung.- Aufgaben.- §10. Stabilität, periodische Lösungen.- 10.1 Autonome Systeme.- 10.2 Ebene autonome Systeme, die Phasen-DGL.- 10.3 Stabilität.- 10.4 Ausblick: Periodische Lösungen ebener autonomer Systeme.- Aufgaben.- § 11. Rand- und Eigenwertprobleme.- 11.1 Einführung.- 11.2 Das lineare RWP für DGL-Systeme.- 11.3 Das lineare RWP für DGLn n-ter Ordnung.- 11.4 Eigenwertprobleme (an Beispielen).- 11.5 Das Sturm-Liouville-EWP.- 11.6 Singuläre RWP und EWP.- Aufgaben.- 10. Funktionentheorie.- §1. Punktmengen in der komplexen Ebene.- 1.1 Die komplexe Ebene.- 1.2 Gebiete.- 1.3 Randpunkte, Häufungspunkte.- 1.4 Zahlenfolgen.- 1.5 Die Zahlenkugel; der Punkt ?.- Aufgaben.- §2. Einige elementare Funktionen.- 2.1 Funktionen, Abbildungen.- 2.2 Grenzwerte, Stetigkeit.- 2.3 Die komplexe Exponentialfunktion.- 2.4 Der komplexe Logarithmus.- 2.5 Allgemeine Potenzen.- 2.6 Die trigonometrischen Funktionen.- 2.7 Die hyperbolischen Funktionen.- 2.8 Die Quadratwurzel $$w\, = \,\sqrt z $$.- 2.9 n-te Wurzeln.- Aufgaben.- §3. Gebrochen-lineare Funktionen.- 3.1 Die gebrochen-linearen Funktionen oder Möbius-Transformationen.- 3.2 Kreis-, Winkel- und Orientierungstreue.- 3.3 Die 6-Punkte-Formel.- 3.4 Symmetrische Punkte.- Aufgaben.- §4. Potenzreihen.- 4.1 Unendliche Reihen.- 4.2 Potenzreihen.- 4.3 Gleichmäßige Konvergenz.- Aufgaben.- §5. Differentiation, analytische Funktionen.- 5.1 Definition und Rechenregeln.- 5.2 Die Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen.- 5.3 Die geometrische Deutung der Ableitung.- 5.4 Die physikalische Deutung der Ableitung: Das komplexe Potential.- Aufgaben.- §6. Integration.- 6.1 Grundlagen.- 6.2 Rechenregeln.- 6.3 Der Cauchy-Integralsatz.- 6.4 Die Cauchy-Integralformel.- 6.5 Vorgabe von Funktionswerten.- Aufgaben.- §7. Anwendungen der Cauchy-Integralformel.- 7.1 Vorbereitung: Der Trick mit der geometrischen Reihe.- 7.2 Die Taylor-Reihe einer analytischen Funktion.- 7.3 Der Fundamentalsatz der Algebra.- 7.4 Die Mittelwerteigenschaft analytischer Funktionen.- 7.5 Das Maximumprinzip.- Aufgaben.- §8. Harmonische Funktionen und das Dirichlet-Problem.- 8.1 Harmonische Funktionen.- 8.2 Die praktische Bestimmung eines komplexen Potentials zu vorgegebener Potentialfunktion.- 8.3 Die Mittelwerteigenschaft harmonischer Funktionen.- 8.4 Das Maximumprinzip für harmonische Funktionen.- 8.5 Das Dirichlet-Problem.- 8.6 Lösung des Dirichlet-Problems in beliebigen Gebieten.- Aufgaben.- §9. Laurent-Reihen und Singularitäten.- 9.1 Die Laurent-Entwicklung.- 9.2 Methoden der Laurent-Entwicklung.- 9.3 Isolierte Singularitäten.- 9.4 Hebbare Singularitäten.- 9.5 Polstellen.- 9.6 Wesentliche Singularitäten.- 9.7 Anwendung auf Potentialströmungen.- 9.8 Die z-Transformation.- Aufgaben.- § 10. Residuentheorie.- 10.1 Der Residuensatz.- 10.2 Methoden der Residuenberechnung.- 10.3 Beispiele zum Residuensatz.- 10.4 Berechnung reeller Integrale mit dem Residuensatz.- 10.5 Das Null- und Polstellen zählende Integral.- Aufgaben.- 11 Fourier-Analysis.- §1. Trigonometrische Polynome und Reihen.- 1.1 Periodische Funktionen.- 1.2 Trigonometrische Polynome.- 1.3 Trigonometrische Reihen.- 1.4 Das Fundamentalbeispiel.- 1.5 Aus dem Fundamentalbeispiel abgeleitete Reihen.- Aufgaben.- §2. Fourier-Reihen.- 2.1 Die Fourier-Reihe einer Funktion.- 2.2 Rechenregeln.- 2.3 Die Bessel-Ungleichung.- 2.4 Methoden der Fourier-Entwicklung.- Aufgaben.- §3. Konvergenz der Fourier-Reihe.- 3.1 Vollständigkeit und Eindeutigkeit.- 3.2 Der Darstellungssatz.- 3.3 Konvergenz im quadratischen Mittel.- 3.4 F-Tabelle. Elementare Fourier-Reihen.- Aufgaben.- §4. Anwendungen (an Beispielen).- 4.1 Periodische Lösungen linearer DGLn mit konstanten Koeffizienten und periodischer rechter Seite.- 4.2 Lösung partieller DGLn durch Trennung der Variablen.- 4.3 Näherungsformeln, Approximation.- 4.4 Harmonische Balance.- 4.5 Auflösung trigonometrischer Gleichungen.- Aufgaben.- §5. Diskrete Fourier-Analysis.- 5.1 Endhche diskrete Fourier-Transformation (DFT).- 5.2 Schnelle Fourier-Transformation (FFT).- 5.3 Anwendungen.- Aufgaben.- §6. Die Fourier-Transformation.- 6.1 Grundlagen.- 6.2 Rechenregeln.- 6.3 Die Konvergenz und Eindeutigkeit der Fourier-Transformation.- 6.4 Anwendungen.- Aufgaben.- 12. Partielle Differentialgleichungen.- §1. Einführung.- 1.1 Grundbegriffe.- 1.2 Beispiele.- 1.3 Die hneare PDG 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten.- 1.4 Die eindimensionale Wellengleichung.- 1.5 Nebenbedingungen.- Aufgaben.- §2. Partielle Differentialgleichungen 1. Ordnung.- 2.1 Ergänzungen zu autonomen DGL-Systemen: Erste Integrale.- 2.2 Lineare partielle Differentialgleichungen 1. Ordnung.- 2.3 Quasilineare Differentialgleichungen 1. Ordnung.- Aufgaben.- §3. Lineare und quasilineare PDGn 2. Ordnung.- 3.1 Klassifikation.- 3.2 Die Reduktion auf Normalform.- Aufgaben.- §4. Trennung der Variablen.- 4.1 Spezielle Ansätze.- 4.2 Die additive Trennung.- 4.3 Die Trennung der Variablen.- 4.4 Wärmeleitung.- 4.5 Die schwingende Saite.- 4.6 Das Dirichlet-Problem.- 4.7 Die schwingende Kreismembran.- 4.8 Fourier-Integral statt Fourier-Reihe.- Aufgaben.- §5 Lösungen mit Laplace- und Fourier-Transformation.- §6. Lösungen mit Green-Funktion.- 6.1 Die Delta-Funktion.- 6.2 Die Deutung von Integralkernen mit ô.- 6.3 Die Lösungsmethode mit Green-Funktionen.- 6.4 Wärmeleitung im beidseitig unbegrenzten Stab.- 6.5 Die Wellengleichung.- 6.6 Die Poisson-Gleichung in der Ebene.- 6.7 Ausblick.- 13. Variationsrechnung.- §1. Funktionale und die Gâteaux-Variation.- 1.1 Funktionale.- 1.2 Die Gâteaux-Variation.- §2. Die Euler-DiflFerentialgleichung für $$I(y)\, = \,\int_a^b {F(x,\,y,\,y\prime)\,dx)}$$.- 2.1 Vorbereitung.- 2.2 Die Euler-Lagrange-Differentialgleichung.- 2.3 Sonderfälle.- Aufgaben.- §3. Natürliche Randbedingungen, Transversalitätsbedingung.- 3.1 Die natürliche Randbedingung.- 3.2 Die Transversalitätsbedingung.- 3.3 Modifizierte Randbedingungen.- Aufgaben.- §4. Variationsaufgaben mit allgemeineren Funktionalen.- 4.1 Der Integrand enthält höhere Ableitungen.- 4.2 Extremalkurven im Rn.- Aufgaben.- §5. Variation mit Nebenbedingungen.- 5.1 Allgemeines.- 5.2 Isoperimetrische Probleme.- 5.3 Nebenbedingungen in Gleichungsform.- Aufgaben.- §6. Variationsrechnung mit Funktionen in mehreren Variablen.- 6.1 In der Ebene.- 6.2 Im Raum.- Aufgaben.- §7. Das Wechselspiel Variationsaufgaben - Differentialgleichungen.- 7.1 Allgemeines.- 7.2 Gewöhnliche Differentialgleichungen.- 7.3 Partielle Differentialgleichungen.- Aufgaben.- §8. Direkte Methoden.- 8.1 Die Ritz-Methode.- 8.2 Die Galerkin-Methode.- Aufgaben.- Namen- und Sachverzeichnis.