Einstieg in die Wirtschaftsmathematik

Vorwort

Zeichenerklärung

1 Grundlagen

1.1 Instrumente der Elementarmathematik

1.1.1 Zahlbereiche. Zahlendarstellung

1.1.2 Rechnen mit Zahlen

 

1.1.3 Bruchrechnung

1.1.4 Potenzrechnung

1.1.5 Binomische Formeln. Partialdivision

1.1.6 Wurzelrechnung

1.1.7 Logarithmenrechnung

1.1.8 Rechenregeln und Auflösung von Gleichungen

1.1.9 Koordinatensysteme

 

1.1.10 Winkelbeziehungen

1.1.11 Komplexe Zahlen

1.2 Darstellung von Funktionen einer Variablen

1.2.1 Formen der Darstellung

1.2.2 Operationen mit Funktionen

1.2.3 Wichtige spezielle Funktionen

 

1.3 Ergänzende Fragen

1.3.1 Intervalle

1.3.2 Auflösung von Ungleichungen

 

1.3.3 Absolute Beträge

1.4 Analytische Geometrie

1.4.1 Geradengleichungen in der Ebene

 

1.4.2 Geraden und Ebenen im Raum

1.4.3 Grafische Darstellung von Ungleichungssystemen

1.5 Zahlenfolgen und Zahlenreihen

1.5.1 Grundbegriffe

1.5.2 Arithmetische Folgen und Reihen

1.5.3 Geometrische Folgen und Reihen

 

1.5.4 Grenzwerte von Zahlenfolgen

1.5.5 Konvergenz von Reihen

Literaturverzeichnis

 

 

2 Logik und Mengenlehre

2.1 Aussagenlogik

2.1.1 Aussagen

2.1.2 Aussagenverbindungen

2.1.3 Quantoren

2.1.4 Einfache Schlussweisen

 

2.2 Mengenlehre

2.2.1 Grundbegriffe

2.2.2 Mengenrelationen

2.2.3 Mengenoperationen

2.2.4 Abbildungen und Funktionen

Literaturverzeichnis

 

3 Finanzmathematik

3.1 Zins- und Zinseszinsrechnung

3.1.1 Einfache Verzinsung

3.1.2 Zinseszinsrechnung

3.1.3 Grundaufgaben der Zinseszinsrechnung

3.1.4 Methoden der mehrperiodigen Investitionsrechnung

3.1.5 Gemischte Verzinsung

3.1.6 Unterjährige Verzinsung

3.2 Rentenrechnung

3.2.1 Grundbegriffe der Rentenrechnung

3.2.2 Vorschüssige Renten

3.2.3 Nachschüssige Renten

3.2.4 Grundaufgaben der Rentenrechnung

 

3.2.5 Ewige Rente

3.3 Tilgungsrechnung

3.3.1 Grundbegriffe. Formen der Tilgung

3.3.2 Ratentilgung

3.3.3 Annuitätentilgung

3.3.4 Tilgungspläne

 

3.4 Renditeberechnung

3.4.1 Effektivzinssatz gemäß Preisangabenverordnung

3.4.2 Vermischte Aufgaben der Renditeberechnung

 

Literaturverzeichnis

 

4 Lineare Algebra

4.1 Matrizen. Vektoren. Vektorräume

4.1.1 Begriff der Matrix

4.1.2 Spezielle Matrizen

 

4.1.3 Matrizenrelationen

4.1.4 Operationen mit Matrizen

4.1.5 Lineare Vektorräume

 

4.2 Matrizenmultiplikation

4.2.1 Skalarprodukt

4.2.2 Produkt von Matrizen

 

4.2.3 Eigenschaften der Matrizenmultiplikation

4.2.4 Anwendungen der Matrizenmultiplikation

4.3 Lineare Gleichungssysteme (LGS)

4.3.1 Begriff des linearen Gleichungssystems

4.3.2 Darstellungsformen von LGS

4.3.3 Begriff der Lösung eines LGS

 

4.3.4 Lineare Gleichungssysteme mit Einheitsmatrix

4.3.5 Elementare Umformungen eines LGS

4.4 Gauß'scher Algorithmus

4.4.1 Anwendung elementarer Umformungen

4.4.2 Ablaufplan des Gauß'schen Algorithmus

4.4.3 Lösungsdarstellung

 

4.4.4 Numerische Aspekte

4.4.5 Zusammenfassende Bemerkungen

4.5 Lineare Unabhängigkeit

4.5.1 Linearkombination

4.5.2 Begriff der linearen Unabhängigkeit

4.5.3 Basis und Rang

4.5.4 Zur Lösungsstruktur linearer Gleichungssysteme

4.6 Matrizeninversion

4.6.1 Definition der inversen Matrix

 

4.6.2 Anwendungen der Matrizeninversion

4.7 Determinanten

4.7.1 Definition der Determinante

4.7.2 Eigenschaften von Determinanten

4.7.3 Anwendungen der Determinantenrechnung

4.7.4 Definitheit von Matrizen

 

4.7.5 Die Cramer'sche Regel

4.7.6 Zusammenfassende Bemerkungen

Literaturverzeichnis

 

 

5 Lineare Optimierung

5.1 Gegenstand der linearen Optimierung

5.1.1 Betrachtung einer Modellsituation

5.1.2 Bestandteile einer LOA. Lösungsbegriff

5.2 Modellierung und grafische Lösung von LOA

5.2.1 Modellierung typischer Problemstellungen

5.2.2 Grafische Lösung von LOA

5.3 Theorie der linearen Optimierung

5.3.1 Überführung in die Gleichungsform

 

5.3.2 Basislösungen und Eckpunkte

5.3.3 Eigenschaften von LOA

5.4 Simplexmethode für Optimierungsaufgaben in Gleichungsform

5.4.1 Grundidee

5.4.2 Auswahl der aufzunehmenden Basisvariablen

5.4.3 Auswahl der auszuschließenden Basisvariablen

 

5.4.4 Ablaufplan des Simplexalgorithmus

5.4.5 Beispiele. Rechenkontrollen

5.4.6 Sonderfälle

 

5.5 Zwei-Phasen-Methode

5.5.1 Grundidee

5.5.2 Mögliche Fälle

 

5.5.3 Beispiele

5.6 Dualität in der linearen Optimierung

5.6.1 Konstruktion der dualen Aufgabe

5.6.2 Dualitätsbeziehungen

5.6.3 Ökonomische Interpretation der Dualvariablen

Literaturverzeichnis

 

 

6 Differenzialrechnung für Funktionen einer Variablen

6.1 Grenzwert und Stetigkeit

6.1.1 Grenzwert von Funktionen

6.1.2 Stetigkeit von Funktionen

6.1.3 Eigenschaften stetiger Funktionen

 

6.2 Die Ableitung einer Funktion

6.2.1 Das Tangentenproblem

6.2.2 Differenzial

 

6.2.3 Differenziationsregeln

6.2.4 Höhere Ableitungen

6.2.5 Taylor-Entwicklung einer Funktion

6.3 Untersuchung von Funktionen mithilfe von Ableitungen

6.3.1 Monotonie und Beschränktheit

6.3.2 Extremwerte

6.3.3 Wendepunkte. Krümmungsverhalten

6.3.4 Kurvendiskussion

6.3.5 Beispiele zur Kurvendiskussion

6.3.6 Anwendungen in der Marginalanalyse

 

6.4 Numerische Methoden der Nullstellenberechnung

6.4.1 Intervallhalbierung

6.4.2 Sekantenverfahren. Regula Falsi

 

6.4.3 Newton-Verfahren

Literaturverzeichnis

 

7 Funktionen mehrerer Veränderlicher

7.1 Begriff und Beispiele

7.1.1 Funktionsbegriff

 

7.1.2 Beispiele für Funktionen mehrerer Veränderlicher

7.2 Grenzwert und Stetigkeit

7.3 Differenziation von Funktionen mehrerer Veränderlicher

7.3.1 Begriff der Differenzierbarkeit

7.3.2 Partielle Ableitungen und Elastizitäten

7.3.3 Gradient einer Funktion. Verschiedene Interpretationen

 

7.3.4 Partielle Ableitungen höherer Ordnung. Hesse-Matrix

7.3.5 Vollständiges Differenzial

7.3.6 Implizite Funktionen

 

Literaturverzeichnis

 

8 Extremwerte von Funktionen mehrerer Veränderlicher

8.1 Extremwerte ohne Nebenbedingungen

8.1.1 Notwendige und hinreichende Extremwertbedingungen

8.1.2 Beispiele

8.2 Extremwerte unter Nebenbedingungen

8.2.1 Allgemeine Aufgabenformulierung

8.2.2 Die Eliminationsmethode

8.2.3 Die Lagrange-Methode

8.2.4 Interpretation der Lagrange'schen Multiplikatoren

8.3 Methode der kleinsten Quadratsumme

8.3.1 Problemstellung. Lineare Regression

8.3.2 Allgemeinere Ansatzfunktionen

Literaturverzeichnis

 

 

9 Integralrechnung

9.1 Das unbestimmte Integral

9.1.1 Integration von Funktionen einer Veränderlichen

9.1.2 Integrationsregeln

9.2 Das bestimmte Integral

9.2.1 Integralbegriff für Funktionen einer Variablen

9.2.2 Integrierbarkeit. Eigenschaften bestimmter Integrale

9.2.3 Numerische Integration

 

9.2.4 Uneigentliche Integrale

9.2.5 Doppelintegral

9.3 Anwendungen der Integralrechnung

9.3.1 Untersuchung von Wachstumsprozessen

9.3.2 Kurzer Ausblick auf Differenzialgleichungen

Literaturverzeichnis

 

 

10 Lösungen zu den Aufgaben

 

11 Klausurbeispiel

11.1 Klausuraufgaben

11.2 Klausurlösungen