Angewandte Tensorrechnung

1. Einleitung.- 1.1 Raum, Zeit, Invarianz.- 1.2 Indizierte Größen.- 1.3 Summationskonvention.- 1.4 Indiziertes Summenzeichen, Kroneckersymbol.- 2. Skalare und Vektoren im euklidischen Raum.- 2.1 Linearer und metrischer Vektorraum, Skalarprodukt.- 2.2 Raumdimension, Basis, Koordinaten.- 2.3 Affine Basistransformation, Orientierung, Volumen.- 2.4 Metrische Grundgrößen.- 2.5 Permutationssymbole.- 2.6 Übungen.- 3. Tensoren.- 3.1 Definition und Beispiele.- 3.2 Tensorkoordinaten; Transformations- und Ziehregel.- 3.3 Rechenregeln und Ergänzungen.- 3.3.1 Horizontale Isomeren.- 3.3.2 Direktes Produkt.- 3.3.3 Summen und Differenzen.- 3.3.4 Verjüngung und Überschiebung, lineare Tensorabbildung.- 3.3.5 Vektorprodukt und Spatprodukt.- 3.3.6 Affine Punktkoordinaten, Ortsableitungen.- 3.3.7 Zeitableitungen.- 3.3.8 Physikalische Maßeinheiten.- 3.4 Übungen.- 4. Dyaden (Tensoren 2. Stufe).- 4.1 Beispiele.- 4.1.1 Nulldyade, Einsdyade, Permutationsdyade.- 4.1.2 Einige Stoffdyaden.- 4.1.3 Trägheitsdyade.- 4.1.4 Stoffunabhängige Dyaden der Kontinuumsmechanik.- 4.1.4.1 Einführung.- 4.1.4.2 Geschwindigkeitsgradient, Gauss-Greenscher Integralsatz.- 4.1.4.3 Punktverschiebung und Verschiebungsgradient.- 4.1.4.4 Cauchysche Spannungsdyade und technische Spannungen.- 4.2 Allgemeine Eigenschaften.- 4.2.1 Symmetrische Dyaden.- 4.2.1.1 Dyadenquadrik.- 4.2.1.2 Hauptachsen.- 4.2.1.3 Mohrscher Kreis.- 4.2.1.4 Skalarinvarianten.- 4.2.1.5 Tensorfunktionen.- 4.2.2 Antimetrische Dyaden.- 4.2.3 Unitäre Dyaden.- 4.2.4 Reguläre, singuläre, inverse, definite und semidefinite Dyaden.- 4.2.5 Dyadenzerlegungen.- 4.3 Anwendungen auf die Kontinuumsmechanik.- 4.3.1 Spannungen, Dreh- und Formänderungsgeschwindigkeiten.- 4.3.2 Formänderungsleistung, Formänderungsarbeit, Gleichgewicht.- 4.3.3 Formänderungen.- 4.4 Übungen.- 5. Krummlinige Koordinaten.- 5.1 Mannigfaltigkeiten.- 5.1.1 Parametermannigfaltigkeit.- 5.1.2 Grundmannigfaltigkeit (Körper, Fläche, Kurve) und Tangentialraum.- 5.1.3 Metrik.- 5.1.4 Ergänzungen.- 5.2 Beispiele.- 5.2.1 Affine Koordinaten.- 5.2.2 Polarkoordinaten und Kreiszylinder.- 5.2.3 Kugelkoordinaten und Kugeln.- 5.2.4 Tordierte (mitgeschleppte) Koordinaten, tordierter Kreiszylinder.- 5.2.5 Schalenkoordinaten, Schalen.- 5.3 Stokesscher Integralsatz und Anwendungen; Einbettbarkeit.- 5.4 Übungen.- 6. Christoffelsymbole.- 6.1 Abrollen und Abwickeln.- 6.2 Beispiele.- 6.2.1 Affine Koordinaten.- 6.2.2 Polarkoordinaten und Kugelkoordinaten.- 6.2.3 Tordierter, elastisch-plastischer Kreiszylinder unter Eigenspannungen; Inkompatibilität.- 6.3 Weitere Betrachtungen.- 6.3.1 Christoffelsymbole 1. und 2. Art.- 6.3.2 Transformationsregeln; Cartanscher Tensor, Versetzungsdichte und Burgersvektor.- 6.3.3 Zusammenhang mit dem metrischen Grundtensor.- 6.4 Übungen.- 7. Tensorableitungen.- 7.1 Kovariante Ortsableitung, affiner Zusammenhang.- 7.2 Krümmungsmaße.- 7.2.1 Äußere Krümmungen.- 7.2.2 Innere Krümmungen.- 7.3 Zeitableitungen.- 7.3.1 Punktgeschwindigkeit und Punktbeschleunigung in einer starren Mannigfaltigkeit.- 7.3.2 Partielle und totale Zeitableitungen in starren Mannigfaltigkeiten.- 7.3.3 Anfangs- und Momentankonfiguration einer zeitlich veränderlichen Mannigfaltigkeit.- 7.3.4 Punktgeschwindigkeit und Punktbeschleunigung in einer zeitlich veränderlichen Mannigfaltigkeit.- 7.3.5 Zeitableitungen von Tensoren in veränderlichen Mannigfaltigkeiten.- 7.4 Übungen.- 8. Weitere Anwendungen.- 8.1 Vorbemerkungen.- 8.1.1 Allgemeines.- 8.1.2 Differentialoperatoren.- 8.1.3 Über die Formulierung von Gleichungen für veränderliche Kontinua.- 8.2 Ruhende Kontinua; bewegte Kontinua in Eulerscher Betrachtungsweise.- 8.2.1 Elektromagnetische Felder in ruhenden Körpern.- 8.2.2 Temperatur, Wärme, Entropie.- 8.2.3 Mechanisches Spannungsgleichgewicht, Formänderungs-geschwindigkeiten und Kompatibilitätsbedingungen.- 8.2.4 Flüssigkeiten und Gase.- 8.2.5 Starrplastisches Material.- 8.3 Kontinua in der aktuellen (updated) Lagrangeschen Betrachtungsweise.- 8.3.1 Elektromagnetische Felder in veränderlichen Körpern..- 8.3.2 Formänderungen, Formänderungs- und Spannungsgeschwindigkeiten.- 8.3.3 Elastisches und reversibles Materialverhalten.- 8.3.4 Elastisch-plastisches Materialverhalten.- 8.4 Kontinua in der bezogenen (total) Lagrangeschen Betrachtungsweise.- 8.4.1 Übertragungshypothesen.- 8.4.2 Parallelverschiebungshypothese und Piolaspannungen.- 8.4.3 Mitschlepphypothese und Kirchhoffspannungen.- 8.4.4 Gegenschlepphypothese.- 8.4.5 Abschließende Bemerkungen.- 8.5 Übungen.- 9. Lösungen der Übungsaufgaben.- Literatur.