Lineare Algebra und analytische Geometrie

A. Lineare Algebra I.- 1. Vektorräume.- § 1. Der Begriff eines Vektorraumes.- 1. Vorbemerkung.- 2. Vektorräume.- 3. Unterräume.- 4. Geraden.- 5. Das Standardbeispiel Kn.- 6. Geometrische Deutung.- 7. Anfänge einer Geometrie im ?2.- § 2. Über den Ursprung der Vektorräume.- 1. Die Grassmannsche Ausdehnungslehre.- 2. Grassmann: Übersicht über die allgemeine Formenlehre.- 3. Extensive Größen als Elemente eines Vektorraumes.- 4. Reaktion der Mathematiker.- 5. Der moderne Vektorraumbegriff.- § 3. Beispiele von Vektorräumen.- 1. Einleitung.- 2. Reelle Folgen.- 3. Vektorräume von Abbildungen.- 4. Stetige Funktionen.- 5. Reelle Polynome.- 6. Reell-analytische Funktionen.- 7. Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung.- 8. Die Vektorräume Abb[M, K].- § 4. Elementare Theorie der Vektorräume.- 1. Vorbemerkung.- 2. Homogene Gleichungen.- 3. Erzeugung von Unterräumen.- 4. Lineare Abhängigkeit.- 5. Der Begriff einer Basis.- 6. Die Dimension eines Vektorraums.- 7. Der Dimensions-Satz.- 8. Der Basis-Satz für beliebige Vektorräume.- 9. Ein Glasperlen-Spiel.- § 5. Anwendungen.- 1. Die reellen Zahlen als Vektorraum über ?.- 2. Beispiele.- 3. Der Rang einer Teilmenge 4.Anwendung auf lineare Gleichungssysteme.- § 6. Homomorphismen von Vektorräumen.- 1. Einleitung.- 2. Definition und einfachste Eigenschaften.- 3. Kern und Bild.- 4. Die Dimensionsformel für Homomorphismen.- 5. Äquivalenz-Satz für Homomorphismen.- 6. Der Rang eines Homomorphismus.- 7. Anwendung auf homogene lineare Gleichungen.- 8. Beispiele.- 9. Die Funktionalgleichung f(x + y) = f(x) + f(y).- § 7. Linearformen und der duale Raum.- 1. Vorbemerkungen.- 2. Definition und Beispiele.- 3. Existenz von Linearformen.- 4. Der Dual-Raum.- 5. Linearformen des Vektorraums der stetigen Funktionen.- § 8. Direkte Summen und Komplemente.- 1. Summe und direkte Summe.- 2. Komplemente.- 3. Die Dimensionsformel für Summen.- 4. Die Bild-Kern-Zerlegung.- 2. Matrizen.- § 1. Erste Eigenschaften.- 1. Der Begriff einer Matrix.- 2. Über den Vorteil von Doppelindizes.- 3. Mat(m, n; K) als K-Vektorraum.- 4. Das Transponierte einer Matrix.- 5. Spalten- und Zeilenrang.- 6. Elementare Umformungen.- 7. Die Ranggleichung.- 8. Kästchenschreibweise und Rangberechnung.- 9. Zur Geschichte des Rang-Begriffes.- § 2. Matrizenrechnung.- 1. Arthur Cayley oder die Erfindung der Matrizenrechnung.- 2. Produkte von Matrizen.- 3. Produkte von Vektoren.- 4. Homomorphismen zwischen Standard-Räumen.- 5. Erntezeit.- 6. Das Skalarprodukt.- 7. Rang A ? r.- 8. Kästchenrechnung.- § 3. Algebren.- 1. Einleitung.- 2. Der Begriff einer Algebra.- 3. Invertierbare Elemente.- 4. Ringe.- 5. Beispiele.- § 4. Der Begriff einer Gruppe.- 1. Halbgruppen.- 2. Gruppen.- 3. Untergruppen.- 4. Kommutative Gruppen.- 5. Homomorphismen.- 6. Normalteiler.- 7. Historische Bemerkungen.- § 5. Matrix-Algebren.- 1. Mat(n ; K) und GL(n; K).- 2. Der Äquivalenz-Satz für invertierbare Matrizen.- 3. Die Invarianz des Ranges.- 4. Spezielle invertierbare Matrizen.- 5. Zentralisator und Zentrum.- 6. Die Spur einer Matrix.- 7. Die Algebra Mat(2 ; K).- § 6. Der Normalformen-Satz.- 1. Elementar-Matrizen.- 2. Zusammenhang mit elementaren Umformungen.- 3. Anwendungen.- 4. Die Weyr-Frobenius-Ungleichungen.- 5. Aufgaben zum Normalformen-Satz.- 6. Zur Geschichte des Normalformen-Satzes.- § 7. Gleichungssysteme.- 1. Erinnerung an lineare Gleichungen.- 2. Wiederholung von Problemen und Ergebnissen.- 3. Der Fall m = n.- 4. Anwendung des Normalformen-Satzes.- 5. Lösungsverfahren.- 6. Basiswechsel in Vektorräumen.- § 8. Pseudo-Inverse.- 1. Motivation.- 2. Der Begriff des Pseudo-Inversen.- 3. Ein Kriterium für Gleichungssysteme.- 4. Zerlegung in eine direkte Summe.- 3. Determinanten.- § 1. Erste Ergebnisse über Determinanten.- 1. Eine Motivation.- 2. Determinanten-Funktionen.- 3. Existenz.- 4. Eigenschaften.- 5. Anwendungen auf die Gruppe GL(n;K).- 6. Die CRAMERsche Regel.- § 2. Das Inverse einer Matrix.- 1. Vorbemerkung.- 2. Die Entwicklungs-Sätze.- 3. Die komplementäre Matrix.- 4. Beschreibung des Inversen.- § 3. Existenzbeweise.- 1. Durch Induktion.- 2. Permutationen.- 3. Die Leibnizsche Formel.- 4. Permutationsmatrizen.- 5. Ein weiterer Existenzbeweis.- § 4. Erste Anwendungen.- 1. Lineare Gleichungssysteme.- 2. Zweidimensionale Geometrie.- 3. Lineare Abhängigkeit.- 4. Rangberechnung.- 5. Die Determinanten-Rekursionsformel.- 6. Das charakteristische Polynom.- 7. Mehrfache Nullstellen von Polynomen.- 8. Eine Funktionalgleichung.- 9. Orientierung von Vektorräumen.- § 5. Symmetrische Matrizen.- 1. Einleitung.- 2. Der Vektorraum der symmetrischen Matrizen.- 3. Quadratische Ergänzung.- 4. Die Jacobische Normalform.- 5. Normalformen-Satz.- 6. Trägheits-Satz.- § 6. Spezielle Matrizen.- 1. Schiefsymmetrische Matrizen.- 2. Die Vandermondesche Determinante.- 3. Bandmatrizen.- 4. Aufgaben.- § 7. Zur Geschichte der Determinanten.- 1. Gottfried Wilhelm Leibniz.- 2. Baltzer's Lehrbuch.- 3. Die weitere Entwicklung.- B. Analytische Geometrie.- 4. Elementar-Geometrie in der Ebene.- Der pythagoreische Lehrsatz.- § 1. Grundlagen.- 1. Skalarprodukt, Abstand und Winkel.- 2. Die Abbildung x ? x?.- 3. Geraden.- 4. Schnittpunkt zwischen zwei Geraden.- 5. Abstand zwischen Punkt und Gerade.- 6. Fläche eines Dreiecks.- 7. Der Höhenschnittpunkt.- § 2. Die Gruppe O(2).- 1. Drehungen und Spiegelungen.- 2. Orthogonale Matrizen.- 3. Bewegungen.- 4. Ein Beispiel.- 5. Die Hauptachsentransformation für 2 × 2 Matrizen.- 6. Fix-Geraden.- 7. Die beiden Orientierungen der Ebene.- § 3. Geometrische Sätze.- 1. Der Kreis.- 2. Tangente.- 3. Die beiden Sehnensätze.- 4. Der Umkreis eines Dreiecks.- 5. Die Euler-Gerade.- 6. Der Feuerbach-Kreis.- 7. Das Mittendreieck.- 5. Euklidische Vektorräume.- § 1. Positiv definite Bilinearformen.- 1. Symmetrische Bilinearformen.- 2. Beispiele.- 3. Positiv definite Bilinearformen.- 4. Positiv definite Matrizen.- 5. Die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung.- 6. Normierte Vektorräume.- § 2. Das Skalarprodukt.- 1. Der Begriff eines euklidischen Vektorraumes.- 2. Winkelmessung.- 3. Orthonormalbasen.- 4. Basisdarstellung.- 5. Orthogonales Komplement und orthogonale Summe.- 6. Linearformen.- § 3. Erste Anwendungen.- 1. Positiv definite Matrizen.- 2. Die adjungierte Abbildung.- 3. Systeme linearer Gleichungen.- 4. Ein Kriterium für gleiche Orientierung.- 5. Legendre-Polynome.- § 4. Geometrie in euklidischen Vektorräumen.- 1. Geraden.- 2. Hyperebenen.- 3. Schnittpunkt von Gerade und Hyperebene.- 4. Abstand von einer Hyperebene.- 5. Orthogonale Projektion.- 6. Abstand zweier Unterräume.- 7. Volumenberechnung.- 8. Duale Basen.- § 5. Die orthogonale Gruppe.- 1. Bewegungen.- 2. Spiegelungen.- 3. Die Transitivität von O(V, ?) auf Sphären.- 4. Die Erzeugung von O(V, ?) durch Spiegelungen.- 5. Winkeltreue Abbildungen.- § 6. Vermischte Aufgaben.- 6. Der ?n als Euklidischer Vektorraum.- § 1. Der ?n und die orthogonale Gruppe O(n).- 1. Der euklidische Vektorraum ?n.- 2. Orthogonale Matrizen.- 3. Die Gruppe O(n).- 4. Spiegelungen.- 5. Erzeugung von O(n) durch Spiegelungen.- 6. Drehungen.- 7. Anwendung der Determinanten-Theorie.- 8. Eine Parameterdarstellung.- 9. Euler, Cauchy, Jacobi und Cayley.- § 2. Die Hauptachsentransformation.- 1. Problemstellung.- 2. Der Vektorraum der symmetrischen Matrizen.- 3. Positiv semi-definite Matrizen.- 4. Das Minimum einer quadratischen Form.- 5. Satz über die Hauptachsentransformation.- 6. Eigenwerte.- 7. Eigenräume.- § 3. Anwendungen.- 1. Vorbemerkung.- 2. Positiv definite Matrizen.- 3. Hyperflächen 2. Grades.- 4. Der Quadratwurzel-Satz.- 5. Polar-Zerlegung.- 6. Orthogonale Normalform.- 7. Das Moore-Penrose-Inverse.- § 4. Topologische Eigenschaften.- 1. Zusammenhang.- 2. Kompaktheit.- 3. Hauptachsentransformation.- 7. Geometrie im dreidimensionalen Raum.- § 1. Das Vektorprodukt.- 1. Definition und erste Eigenschaften.- 2. Zusammenhang mit Determinanten.- 3. Geometrische Deutung.- 4. Ebenen.- 5. Parallelotope.- 6. Vektorrechnung im Anschauungsraum.- § 2. Sphärische Geometrie.- 1. Über den Ursprung der Sphärik.- 2. Das sphärische Dreieck.- 3. Das Polardreieck.- 4. Entfernung auf der Erde.- § 3. Die Gruppe O(3).- 1. Beschreibung durch das Vektorprodukt.- 2. Erzeugung durch Drehungen.- 3. Spiegelungen.- 4. Fix-Geraden.- 5. Die Normalform.- 6. Die Drehachse.- 7. Die Eulersche Formel.- 8. Drehungen um eine Achse.- § 4. Bewegungen.- 1. Fixpunkte.- 2. Bewegungen mit Fixpunkt.- 3. Schraubungen.- C. Lineare Algebra II.- 8. Polynome und Matrizen.- § 1. Polynome.- 1. Der Vektorraum Pol K.- 2. Pol K als Ring.- 3. Zerfallende Polynome.- 4. Pol Kals Hauptidealring.- 5. Unbestimmte.- § 2. Die komplexen Zahlen.- 1. Der Körper ? der komplexen Zahlen.- 2. Konjugation und Betrag.- 3. Der Fundamentalsatz der Algebra.- § 3. Struktursatz für zerfallende Matrizen.- 1. Der Begriff der Diagonalisierbarkeit.- 2. Das charakteristische Polynom.- 3. Äquivalenz-Satz für Eigenwerte.- 4. Nilpotente Matrizen.- 5. Idempotente Matrizen.- 6. Zerfallende Matrizen.- 7. Diagonalisierbarkeits-Kriterium.- 8. Ein Beispiel zum Struktur-Satz.- 9. Elementarsymmetrische Funktionen und Potenzsummen.- § 4. Die Algebra K[A].- 1. Eine Warnung.- 2. Matrix-Polynome.- 3. Das Minimalpolynom.- 4. Eigenwerte.- 5. Das Rechnen mit Kästchen-Diagonalmatrizen.- 6. Satz von Cayley.- 7. Äquivalenz-Satz für Diagonalisierbarkeit.- 8. Spektralscharen.- 9. Eigenräume.- § 5. Die Jordan-Chevalley-Zerlegung.- 1. Existenz-Satz.- 2. Summen von diagonalisierbaren Matrizen.- 3. Die Eindeutigkeit.- 4. Anwendungen.- § 6. Normalformen reeller und komplexer Matrizen.- 1. Normalformen komplexer Matrizen.- 2. Reelle und komplexe Matrizen.- 3. Hermitesche Matrizen.- 4. Invariante Unterräume.- 5. Die Stufenform.- 6. Der Satz über die Stufenform.- 7. Orthogonale Matrizen.- 8. Schiefsymmetrische Matrizen.- 9. Normale Matrizen.- § 7. Der höhere Standpunkt.- 1. Einfache und halbeinfache Algebren.- 2. Kommutative Algebren.- 3. Die Struktursätze.- 4. Die weitere Entwicklung.- 5. Der generische Standpunkt.- 9. Homomorphismen von Vektorräumen.- § 1. Der Vektorraum Hom(V, V').- 1. Der Vektorraum Abb(M, V').- 2. Hom(V, V') als Unterraum von Abb(V, V').- 3. Mat(m, n; K) als Beispiel.- 4. Verknüpfungen von Hom(V, V') und Hom(V', V").- § 2. Beschreibung der Homomorphismen im endlich-dimensionalen Fall.- 1. Isomorphie mit Standard-Räumen.- 2. Darstellung der Homomorphismen.- 3. Basiswechsel.- 4. Die Algebra End V.- 5. Diagonalisierbarkeit.- § 3. Anwendungen.- 1. Spiegelungen in euklidischen Vektorräumen.- 2. Die Linksmultiplikation in Mat(n; K).- 3. Polynome.- § 4. Der Quotientenraum.- 1. Einleitung.- 2. Nebenklassen.- 3. Der Satz über den Quotientenraum.- 4. Der Satz über den kanonischen Epimorphismus.- 5. Kanonische Faktorisierung.- 6. Anwendungen.- 7. Beispiele.- § 5. Nilpotente Endomorphismen.- 1. Problemstellung.- 2. Zyklische Unterräume.- 3. Der Struktur-Satz.- 4. Nilzyklische Matrizen.- 5. Die Normalform.- Literatur.- Namenverzeichnis.