Geometrie

1 Symmetriegruppen.- 1.1 Isometrien der Ebene und des Raums.- 1.2 Gruppen und Gruppenoperationen.- 1.3 Endliche Symmetriegruppen.- 1.4 Ergänzungen zu Kapitel 1.- 1.4.1 Reguläre Polyeder.- 1.4.2 Kristallographische Gruppen.- 1.4.3 Der Brouwersche Fixpunktsatz.- 2 Skalarprodukt und Vektorprodukt.- 2.1 Skalarprodukt von Vektoren.- 2.2 Das Vektorprodukt.- 2.3 Ergänzungen zu Kapitel 2.- 2.3.1 Divergenz, Gradient und Rotation.- 2.3.2 Die Lorentzkraft.- 2.3.3 Infinitesimale Drehungen.- 3 Das Parallelenaxiom.- 3.1 Axiome der Euklidischen Geometrie.- 3.2 Das Poincaré-Modell der hyperbolischen Ebene.- 3.3 Das Doppelverhältnis und die Längenmessung in der hyperbolischen Ebene.- 3.4 Die Winkelmessung in der hyperbolischen Ebene.- 3.5 Ergänzungen zu Kapitel 3.- 3.5.1 Das Beltrami-Klein-Modell.- 3.5.2 Bemerkungen zur Geschichte.- 3.5.3 Reduktion binärer quadratischer Formen und ebene Gitter.- 3.5.4 Elliptische Geometrie.- 4 Kegelschnitte.- 4.1 Normalformen.- 4.2 Brennpunkte und Brenngeraden.- 4.3 Schnitt eines Kegelschnitts mit Geraden oder einem zweiten Kegelschnitt.- 4.4 Konfokale Kegelschnitte.- 4.5 Die Sätze von Pascal und Brianchon.- 4.6 Dualität.- 4.7 Ergänzungen zu Kapitel 4.- 4.7.1 Gleichungen von Kegelschnitten in Polarkoordinaten.- 4.7.2 Kepler'sche Ellipsen.- 4.7.3 Die Dandelin'schen Kugeln.- 4.7.4 Billards.- 4.7.5 Der Poncelet'sche Schließungssatz.- 4.7.6 Affine Klassifikation von Kegelschnitten und affine Kurven.- 4.7.7 Die projektive Ebene.- 5 Quadriken in ?3.- 5.1 Hauptachsentransformation für quadratische Formen.- 5.2 Normalformen.- 5.3 Geraden auf einem einschaligen Hyperboloid.- 5.4 Lorentz-Geometrie.- 5.5 Ergänzungen zu Kapitel 5.- 5.5.1 Der Trägheitstensor.- 5.5.2 Eine Beziehung zwischen Lorentz-Geometrie und hyperbolischer Geometrie.- 5.5.3 Die Schläfii'sche Doppelsechs und kubische Flächen.- 6 Die Geometrie der Gruppe SO(3).- 6.1 Eulersche Winkel.- 6.2 Die Liealgebra sO(3).- 6.3 Die stereographische Projektion.- 6.4 Die Pauli-Matrizen.- 6.5 Ein Weg in SO(3), der nicht zusammenziehbar ist.- 6.6 Die Fundamentalgruppe.- 6.7 Die Hopfabbildung.- 6.8 Ergänzungen zu Kapitel 6.- 6.8.1 Die Bewegung eines Kreisels.- 6.8.2 Quaternionen.- 6.8.3 Endliche Untergruppen von SU(2).- 6.8.4 SL(2, ?) und SO+(3,1).- 6.8.5 Die Zopfgruppe als Fundamentalgruppe.- Anhang A: Vorkenntisse.- Anhang B: Hinweise zum Literaturverzeichnis.- Sachwortverzeichnis.