Vektoranalysis

1. Rechtwinklige kartesische Koordinaten und Drehung der Achsen.- 1.1. Rechtwinklige kartesische Koordinaten.- 1.2. Richtungskosinus und Richtungsparameter.- 1.3. Der Winkel zwischen Geraden durch den Ursprung.- 1.4. Rechtwinklige Projektion einer Geraden auf eine andere.- 1.5. Drehung der Achsen.- 1.6. Die Summenkonvention und ihr Gebrauch.- 1.7. Invarianz bei Drehungen.- 1.8. Matrizenschreibweise.- 2. Skalar- und Vektoralgebra.- 2.1. Skalare.- 2.2. Vektoren, allgemeines.- 2.3. Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar.- 2.4. Addition und Subtraktion von Vektoren.- 2.5. Die Einheitsvektoren i, j, k.- 2.6. Das Skalarprodukt.- 2.7. Das Vektorprodukt.- 2.8. Das Spatprodukt.- 2.9. Das doppelte Vektorprodukt.- 2.10. Das Produkt aus vier Vektoren.- 2.11. Gebundene Vektoren.- 3. Vektorfunktionen einer reellen Variablen. Differentialgeometrie von Kurven.- 3.1. Vektorfunktionen und ihre geometrische Bedeutung.- 3.2. Differenzieren eines Vektors.- 3.3. Differentiationsregeln.- 3.4. Tangenten an eine Kurve. Glatte, stückweise glatte und einfache Kurven.- 3.5. Die Bogenlänge.- 3.6. Krümmung und Torsion.- 3.7. Anwendungen in der Kinematik.- 4. Skalar- und Vektorfelder.- 4.1. Bereiche.- 4.2. Funktionen mehrerer Variabler.- 4.3. Definition von Skalar- und Vektorfeldern.- 4.4. Der Gradient eines Skalarfeldes.- 4.5. Eigenschaften des Gradienten.- 4.6. Divergenz und Rotation eines Vektorfeldes.- 4.7. Der Nabla-Operator.- 4.8. Skalar-invariante Operatoren.- 4.9. Nützliche Gleichungen.- 4.10. Zylinderkoordinaten und sphärische Polarkoordinaten.- 4.11. Allgemeine krummlinige orthogonale Koordinaten.- 4.12. Vektorkomponenten in krummlinigen orthogonalen Koordinaten.- 4.13. grad ?, div F, rot F und ?2 in krummlinigen orthogonalen Koordinaten.- 4.14. Vektoranalysis imn-dimensionalen Raum.- 5. Kurven-, Oberflächen- und Volumenintegrale.- 5.1. Das Kurvenintegral über ein Skalarfeld.- 5.2. Das Kurvenintegral über ein Vektorfeld.- 5.3. Mehrfachintegrale.- 5.4. Doppel- und Dreifachintegrale.- 5.5. Flächen.- 5.6. Das Oberflächenintegral.- 5.7. Das Volumenintegral.- 6. Integralsätze.- 6.1. Einführung.- 6.2. Der Gaußsche Satz.- 6.3. Die Greenschen Formeln.- 6.4. Der Stokessche Satz.- 6.5. Grenzwertdefinition von div F und rot F.- 6.6. Geometrische und physikalische Bedeutung von Divergenz und Rotation.- 7. Anwendungen auf Potentiale.- 7.1. Zusammenhängende Bereiche.- 7.2. Das Skalarpotential.- 7.3. Das Vektorpotential.- 7.4. Die Poisson-Gleichung.- 7.5. Die Poisson-Gleichung in Vektorform.- 7.6. Der Helmholtzsche Satz.- 7.7. Raumwinkel.- 8. Kartesische Tensoren.- 8.1. Einführung.- 8.2. Kartesische Tensoren: algebraische Grundlagen.- 8.3. Invariante Tensoren.- 8.4. Tensorfelder.- 8.5. Der Gaußsche Satz für Tensorfelder.- 9. Sätze über die Darstellung invarianter Tensoren.- 9.1. Einführung.- 9.2. Diagonalisierung symmetrischer Tensoren zweiter Stufe.- 9.3. Konstanten invarianter Tensoren zweiter Stufe.- 9.4. Darstellung invarianter Vektorfunktionen.- 9.5. Invariante Skalarfunktionen von symmetrischen Tensoren zweiter Stufe.- 9.6. Darstellung invarianter Tensorfunktionen.- Anhang 1. Determinanten.- 2. Die Kettenregel für Jacobideterminanten.- 4. Lösungen zu den Übungsaufgaben.- 5. Weitere Übungsaufgaben und Lösungen.