Mathematik zum Studienbeginn

1 Arithmetik.- 1.1 Mengen.- 1.2 Aussageformen und logische Zeichen.- 1.2.1 Aussageformen.- 1.2.2 Logische Zeichen.- 1.2.3 Vollständige Induktion.- 1.3 Einteilung der Zahlen.- 1.4 Grundrechenarten.- 1.5 Grundlegende Rechenregeln.- 1.5.1 Buchstabenrechnen.- 1.5.2 Kehrwert, Quersumme.- 1.5.3 Teilbarkeitsregeln.- 1.5.4 Punktrechnung vor Strichrechnung.- 1.5.5 Potenzrechnung vor Punktrechnung.- 1.5.6 Grundgesetze der Addition und Multiplikation.- 1.5.7 Grundregeln der Klammerrechnung.- 1.5.8 Multiplikation mit Klammern.- 1.5.9 Indizes, Summenzeichen, Produktzeichen.- 1.5.10 Binomische Formeln.- 1.5.11 Division mit Klammern.- 1.6 Bruchrechnung.- 1.6.1 Definitionen.- 1.6.2 Erweitern und Kürzen.- 1.6.3 Addieren und Subtrahieren gleichnamiger Brüche.- 1.6.4 Addieren und Subtrahieren ungleichnamiger Brüche.- 1.6.5 Multiplizieren von Brüchen.- 1.6.6 Dividieren von Brüchen.- 1.7 Potenz- und Wurzelrechnung.- 1.7.1 Definition der Potenz.- 1.7.2 Regeln der Potenzrechnung.- 1.7.3 Definition der Wurzel.- 1.7.4 Regeln der Wurzelrechnung.- 1.8 Dezimalzahlen und Dualzahlen.- 1.8.1 Dezimalsystem.- 1.8.2 Dualsystem.- 1.8.3 Runden.- 1.9 Logarithmen.- 1.9.1 Definition des Logarithmus.- 1.9.2 Spezielle Basen.- 1.9.3 Regeln der Logarithmenrechnung.- 1.9.4 Zusammenhang von Logarithmen mit verschiedenen Basen.- 1.9.5 Dekadische Logarithmen.- 1.10 Mittelwerte.- 1.10.1 Arithmetisches Mittel.- 1.10.2 Geometrisches Mittel.- 1.10.3 Harmonisches Mittel.- 1.10.4 Quadratisches Mittel.- 1.11 Ungleichungen.- 1.11.1 Definitionen und Rechenregeln.- 1.11.2 Absolutbetrag.- 1.11.3 Intervalle.- 1.12 Komplexe Zahlen.- 1.12.1 Algebraische Form.- 1.12.2 Trigonometrische Form.- 1.12.3 Addieren und Subtrahieren komplexer Zahlen.- 1.12.4 Multiplizieren komplexer Zahlen.- 1.12.5 Dividieren komplexer Zahlen.- 1.12.6 Potenzieren komplexer Zahlen.- 1.12.7 Radizieren komplexer Zahlen.- 1.12.8 Eulersche Formel.- 2 Gleichungen.- 2.1 Gleichungsarten.- 2.2 Äquivalente Umformungen.- 2.3 Lineare Gleichungen.- 2.4 Proportionen.- 2.5 Quadratische Gleichungen.- 2.5.1 Definitionen.- 2.5.2 Lösungsverfahren.- 2.5.3 Satz von Viëta für quadratische Gleichungen.- 2.6 Algebraische Gleichungen höheren Grades.- 2.6.1 Kubische Gleichungen.- 2.6.2 Polynomdivision.- 2.6.3 Gleichungen vierten Grades.- 2.6.4 Gleichungen n-ten Grades.- 2.6.5 Satz von Viëta für Gleichungen n-ten Grades.- 2.7 Auf algebraische Gleichungen zurückführbare Gleichungen.- 2.7.1 Bruchgleichungen.- 2.7.2 Wurzelgleichungen.- 2.8 Transzendente Gleichungen.- 2.8.1 Exponentialgleichungen.- 2.8.2 Logarithmische Gleichungen.- 2.8.3 Trigonometrische Gleichungen.- 2.9 Lineare Gleichungssysteme.- 2.9.1 Definitionen.- 2.9.2 Zwei lineare Gleichungen mit zwei Variablen.- 2.9.3 Drei lineare Gleichungen mit drei Variablen.- 2.9.4 Matrizen und Determinanten.- 2.10 Lineare Ungleichungen.- 2.10.1 Definitionen.- 2.10.2 Lineare Ungleichungen mit einer Variablen.- 2.10.3 Lineare Ungleichungen mit zwei Variablen.- 2.10.4 Lineare Ungleichungssysteme mit zwei Variablen.- 3 Planimetrie.- 3.1 Geraden und Strecken.- 3.2 Winkel.- 3.3 Grundkonstruktionen mit Zirkel und Lineal.- 3.4 Projektion.- 3.5 Geometrische Örter.- 3.6 Dreiecke.- 3.6.1 Allgemeine Dreiecke.- 3.6.2 Gleichschenklige Dreiecke.- 3.6.3 Gleichseitige Dreiecke.- 3.6.4 Rechtwinklige Dreiecke.- 3.6.5 Besondere Geraden, Strecken und Kreise.- 3.6.6 Flächensätze im rechtwinkligen Dreieck.- 3.6.7 Kongruenz von Dreiecken.- 3.6.8 Grundkonstruktionen des Dreiecks.- 3.7 Vierecke.- 3.7.1 Allgemeine Vierecke.- 3.7.2 Trapeze.- 3.7.3 Parallelogramme.- 3.7.4 Rhomben.- 3.7.5 Rechtecke.- 3.7.6 Quadrate.- 3.7.7 Drachen.- 3.7.8 Sehnenvierecke.- 3.7.9 Tangentenvierecke.- 3.8 Reguläre n-Ecke.- 3.9 Polygone.- 3.10 Kreise.- 3.10.1 Definitionen.- 3.10.2 Kreissektoren.- 3.10.3 Kreissegmente.- 3.10.4 Kreise und Geraden.- 3.10.5 Winkelsätze am Kreis.- 3.10.6 Eigenschaften von Sekanten und Sehnen.- 3.10.7 Tangentenkonstruktionen.- 3.10.8 Sätze über Sehnen, Sekanten, Tangenten.- 3.10.9 Bogenmaß.- 3.11 Symmetrie.- 3.11.1 Punktsymmetrie.- 3.11.2 Achsensymmetrie.- 3.12 Ähnlichkeit.- 3.12.1 Zentrische Streckung.- 3.12.2 Strahlensätze.- 3.12.3 Ähnliche Figuren.- 3.12.4 Streckenteilungen.- 4 Stereometrie.- 4.1 Prismen.- 4.1.1 Allgemeine Prismen.- 4.1.2 Parallelepiped und Würfel.- 4.2 Zylinder.- 4.2.1 Allgemeine Zylinder.- 4.2.2 Gerade Kreiszylinder.- 4.2.3 Hohlzylinder.- 4.3 Pyramiden.- 4.3.1 Allgemeine Pyramiden.- 4.3.2 Gerade quadratische Pyramiden.- 4.4 Kegel.- 4.4.1 Allgemeine Kegel.- 4.4.2 Gerade Kreiskegel.- 4.5 Cavalierisches Prinzip.- 4.6 Pyramidenstümpfe und Kegelstümpfe.- 4.6.1 Pyramidenstümpfe.- 4.6.2 Kegelstümpfe.- 4.7 Platonische Körper.- 4.8 Kugeln.- 4.8.1 Definitionen.- 4.8.2 Kugelsegmente.- 4.8.3 Kugelsektoren.- 4.8.4 Kugelschichten.- 5 Funktionen.- 5.1 Definition und Darstellungen von Funktionen.- 5.1.1 Definitionen.- 5.1.2 Funktionsgleichung.- 5.1.3 Graph einer Funktion.- 5.1.4 Wertetabelle einer Funktion.- 5.2 Verhalten von Funktionen.- 5.2.1 Monotone Funktionen.- 5.2.2 Symmetrische Funktionen.- 5.2.3 Beschränkte Funktionen.- 5.2.4 Injektive Funktionen.- 5.2.5 Surjektive Funktionen.- 5.2.6 Bijektive Funktionen.- 5.2.7 Periodische Funktionen.- 5.2.8 Umkehrfunktionen.- 5.2.9 Reelle und komplexe Funktionen.- 5.3 Einteilung der elementaren Funktionen.- 5.4 Ganze rationale Funktionen.- 5.4.1 Konstante Funktionen.- 5.4.2 Lineare Funktionen.- 5.4.3 Quadratische Funktionen.- 5.4.4 Kubische Funktionen.- 5.4.5 Ganze rationale Funktionen n-ten Grades.- 5.4.6 Homer-Schema.- 5.5 Gebrochene rationale Funktionen.- 5.5.1 Nullstellen, Pole, Asymptoten.- 5.5.2 Partialbruchzerlegung.- 5.6 Irrationale Funktionen.- 5.7 Transzendente Funktionen.- 5.7.1 Exponentialfunktionen.- 5.7.2 Logarithmusfunktionen.- 6 Trigonometrie.- 6.1 Definition der trigonometrischen Funktionen.- 6.2 Trigonometrische Funktionen für beliebige Winkel.- 6.3 Beziehungen für den gleichen Winkel.- 6.4 Graphen der trigonometrischen Funktionen.- 6.5 Reduktionsformeln.- 6.6 Additionstheoreme.- 6.7 Sinussatz und Kosinussatz.- 6.8 Grundaufgaben der Dreiecksberechnung.- 6.9 Arkusfunktionen.- 7 Analytische Geometrie.- 7.1 Koordinatensysteme.- 7.1.1 Kartesisches Koordinatensystem der Ebene.- 7.1.2 Polarkoordinatensystem der Ebene.- 7.1.3 Zusammenhang zwischen kartesischen und Polarkoordinaten.- 7.1.4 Kartesisches Koordinatensystem des Raums.- 7.1.5 Kugelkoordinatensystem des Raums.- 7.1.6 Zylinderkoordinatensystem des Raums.- 7.2 Geraden.- 7.2.1 Geradengleichungen.- 7.2.2 Abstände.- 7.3 Kreise.- 7.3.1 Kreisgleichungen.- 7.3.2 Berechnung von Kreisen.- 7.3.3 Kreis und Gerade.- 7.4 Kugeln.- 7.5 Kegelschnitte.- 7.5.1 Ellipsen.- 7.5.2 Hyperbeln.- 7.5.3 Parabeln.- 7.5.4 Anwendungen.- 7.6 Graphisches Lösen von Gleichungen.- 7.7 Vektoren.- 7.7.1 Definitionen.- 7.7.2 Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar.- 7.7.3 Addition und Subtraktion zweier Vektoren.- 7.7.4 Komponentendarstellung von Vektoren in der Ebene.- 7.7.5 Komponentendarstellung von Vektoren im Raum.- 7.7.6 Skalarprodukt.- 7.7.7 Vektorprodukt.- 7.7.8 Spatprodukt.- 8 Differenzial- und Integralrechnung.- 8.1 Folgen.- 8.1.1 Grundbegriffe.- 8.1.2 Arithmetische Folgen.- 8.1.3 Geometrische Folgen.- 8.1.4 Grenzwert einer Folge.- 8.1.5 Tabelle einiger Grenzwerte.- 8.1.6 Divergente Folgen.- 8.2 Reihen.- 8.2.1 Definitionen.- 8.2.2 Arithmetische Reihen.- 8.2.3 Geometrische Reihen.- 8.2.4 Harmonische Reihen.- 8.2.5 Alternierende Reihen.- 8.3 Grenzwerte von Funktionen.- 8.3.1 Grenzwert an einer endlichen Stelle.- 8.3.2 Einseitige Grenzwerte.- 8.3.3 Grenzwert im Unendlichen.- 8.3.4 Rechenregeln für Grenzwerte.- 8.3.5 Unbestimmte Ausdrücke.- 8.3.6 Stetigkeit einer Funktion.- 8.3.7 Unstetigkeitsstellen.- 8.4 Ableitung einer Funktion.- 8.4.1 Definitionen.- 8.4.2 Differenziationsregeln.- 8.4.3 Höhere Ableitungen.- 8.4.4 Ableitungen einiger algebraischer Funktionen.- 8.4.5 Ableitungen einiger transzendenter Funktionen.- 8.4.6 Sekanten und Tangenten.- 8.4.7 Extremwerte von Funktionen.- 8.4.8 Krümmungsverhalten von Funktionen.- 8.4.9 Wendepunkte von Funktionen.- 8.4.10 Kurvendiskussion.- 8.4.11 Anwendungsbeispiele.- 8.4.12 Näherungsverfahren zur Nullstellenbestimmung.- 8.5 Integralrechnung.- 8.5.1 Unbestimmtes Integral.- 8.5.2 Integrationsregeln.- 8.5.3 Unbestimmte Integrale einiger algebraischer Funktionen.- 8.5.4 Unbestimmte Integrale einiger transzendenter Funktionen.- 8.5.5 Bestimmtes Integral.- 8.5.6 Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung.- 8.5.7 Eigenschaften des bestimmten Integrals.- 8.5.8 Einige Anwendungen der Integralrechnung.- 8.6 Funktionenreihen.- 8.6.1 Definitionen.- 8.6.2 Potenzreihen.- 8.6.3 Fourier-Reihen.- 9 Kombinatorik.- 9.1 Kombinatorische Grundprinzipien.- 9.2 Fakultäten, Binomialkoeffizienten und Pascalsches Dreieck.- 9.3 Binomischer Lehrsatz.- 9.4 Permutationen und Variationen.- 9.5 Kombinationen.- 9.6 Permutationen mit eingeschränkter Wiederholung.- 9.7 Multinomialsatz.- 9.8 Prinzip der Inklusion und Exklusion.- 10 Wahrscheinlichkeitsrechnung.- 10.1 Zufällige Ereignisse.- 10.2 Absolute und relative Häufigkeit von Ereignissen.- 10.3 Stichproben.- 10.4 Axiomatische Definition der Wahrscheinlichkeit.- 10.5 Klassische Definition der Wahrscheinlichkeit.- 10.6 Zufallsvariable.- A Symbole und Bezeichnungsweisen.- B Mathematische Konstanten.- C Das griechische Alphabet.- Sachwortverzeichnis.