GAMMA
Description
Jeder kennt p = 3,14159., viele kennen e = 2,71828., einige i. Und dann? Die "viertwichtigste" Konstante ist die Eulersche Zahl g = 0,5772156. - benannt nach dem genialen Leonhard Euler (1707-1783). Bis heute ist unbekannt, ob g eine rationale Zahl ist. Das Buch lotet die "obskure" Konstante aus. Die Reise beginnt mit Logarithmen und der harmonischen Reihe. Es folgen Zeta-Funktionen und Eulers wunderbare Identität, Bernoulli-Zahlen, Madelungsche Konstanten, Fettfinger in Wörterbüchern, elende mathematische Würmer und Jeeps in der Wüste. Besser kann man nicht über Mathematik schreiben. Was Julian Havil dazu zu sagen hat, ist spektakulär.
Reviews / Votes
Aus den Rezensionen:
". Es ist sehr faszinierend, wie es dem Autor gelingt, einen Bogen von Reihen und Harmonien in der Geometrie bis hin zu der sehr komplexen Riemannschen Vermutung zu schlagen. . Die Krönung des Buches ist das Aufzeigen der Riemannschen Vermutung . Empfehlenswert ist dieses Buch . für alle, die sich für diesen Bereich . interessieren. . Die einzelnen Themen sind . didaktisch sehr gut angeordnet. . Für diejenigen, die die Spannung, die der Autor während des Lesens geschickt aufbaut, auch genießen möchten, ist 'Gamma' eine wahre Goldgrube ."
(Florian Modler, Die viertwichtigste Konstante der Welt, in: WissenschaftOnline/SpektrumDirekt, 23. Juli 2007)
". Ausgehend von den Bestandteilen der Definition verfolgt der Autor auf Eulers Wegen den vielfältig verästelten Beziehungen, die bis zur Riemannschen Vermutung und zum Primzahlsatz führen. Der inhaltsreiche, die Mathematikgeschichte sorgfältig reflektierende Text ist . immer elementar. . Alle, die Freude an Mathematik haben, von Schülern der Oberstufe bis zu professionellen Kennern, finden hier eine reiche Quelle an Anregungen und Einsichten." (Wolfgang Grölz, in: ekz-Informationsdienst Einkaufszentrale für öffentliche Bibliotheken, 2007, Issue 23)
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Content
Vorwort
Vorwort des Übersetzers
Danksagungen
Einleitung
1 Die logarithmische Wiege . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1 Ein mathematischer Albtraum - und ein Erwachen . . . . . . . . . 7
1.2 Des Barons wunderbarer Kanon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Ein Hauch Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4 Ein Hauch Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.5 Weitere Ideen Napiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2 Die harmonische Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.1 Das Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2 Eine erzeugende Funktion für Hn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3 Drei überraschende Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3 Subharmonische Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.1 Ein gemächlicher Start . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2 Harmonische Primzahlreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3 Die Kempnerreihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.4 Die Madelungschen Konstanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4 Zeta-Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.1 Mit einer positiven ganzen Zahl n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.2 Mit einer reellen Zahl x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.3 Zwei abschließende Resultate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5 Der Geburtsort von Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.1 Ankunft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.2 Niederkunft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6 Die Gamma-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6.1 Exotische Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6.2 . . . weitere sinnvolle Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6.3 Gamma trifft Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6.4 Komplement und Schönheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
7 Eulers wunderbare Identität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
7.1 Die Formel, auf die es ankommt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
7.2 . . . und ein Hinweis auf ihre Nützlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
8 Ein erfülltes Versprechen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
9 Was ist Gamma . . . exakt? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
9.1 Gamma existiert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
9.2 Gamma ist . . . was für eine Zahl? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
9.3 Eine überraschend gute Verbesserung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
9.4 Der Ursprung einer großen Idee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
10 Gamma als Dezimalbruch. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
10.1 Die Bernoull