Synergetik

1. Das Ziel.- 1.1 Ordnung und Unordnung: Typische Erscheinungen.- 1.2 Einige charakteristische Problemstellungen.- 1.3 Wie wir vorgehen.- 2. Wahrscheinlichkeit.- 2.1 Das Objekt unserer Untersuchungen: die Ergebnismenge.- 2.2 Zufallsvariable.- 2.3 Wahrscheinlichkeit.- 2.4 Verteilungen.- 2.5 Zufallsvariable und Wahrscheinlichkeitsdichten.- 2.6 Die Verbundwahrscheinlichkeit.- 2.7 Erwartungswerte E(X), Momente.- 2.8 Bedingte Wahrscheinlichkeiten.- 2.9 Unabhängige und abhängige Zufallsvariable.- 2.10 Erzeugende Funktionen und charakteristische Funktionen.- 2.11 Eine spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilung: die Binomialverteilung.- 2.12 Die Poisson-Verteilung.- 2.13 Die Normalverteilung (Gauss-Verteilung).- 2.14 Die Stirlingsche Formel.- 2.15 Der zentrale Grenzwertsatz.- 3. Information.- 3.1 Grundlegende Ideen.- 3.2 Informationsgewinn. Eine anschauliche Herleitung.- 3.3 Informationsentropie und Nebenbedingungen.- 3.4 Ein Beispiel der Physik: Die Thermodynamik.- 3.5 Ein Zugang zur irreversiblen Thermodynamik.- 3.6 Die Entropie - Fluch der statistischen Mechanik?.- 4. Der Zufall.- 4.1 Ein Modell für die Brownsche Bewegung.- 4.2 Die Zufallsbewegung und ihre Master-Gleichung.- 4.3 Verbundwahrscheinlichkeit und Wege. Markov-Prozesse. Die Chapman-Kolmogorov-Gleichung.- 4.3.1 Ein Beispiel für die Verbundwahrscheinlichkeit: das Wegintegral als Lösung der Diffusionsgleichung.- 4.4 Über den Gebrauch von Verbundwahrscheinlichkeiten. Momente. Die charakteristische Funktion. Gauss-Prozesse.- 4.5 Die Master-Gleichung.- 4.6 Die exakte stationäre Lösung der Master-Gleichung für Systeme in detaillierter Bilanz.- 4.7 Die Master-Gleichung bei detaillierter Bilanz. Symmetrisierung, Eigenwerte und Eigenzustände.- 4.8 Die Kirchhoffsche Methode zur Lösung der Master-Gleichung.- 4.9 Theoreme zu Lösungen der Master-Gleichung.- 4.10 Die Bedeutung von Zufallsprozessen. Stationärer Zustand, Fluktuationen, Wiederkehrzeit.- 4.11 Master-Gleichung und Grenzen der irreversiblen Thermodynamik.- 5. Notwendigkeit.- 5.1 Dynamische Prozesse.- 5.1.1 Ein Beispiel: der überdämpfte anharmonische Oszillator.- 5.1.2 Grenzzyklen.- 5.1.3 Weiche und harte Moden, weiche und harte Anregung.- 5.2 Kritische Punkte und Trajektorien in der Phasenebene. Grenzzyklen.- 5.3 Stabilität.- 5.3.1 Lokales Kriterium.- 5.3.2 Globale Stabilität (Ljapunov-Funktion).- 5.4 Beispiele und Aufgaben zu Bifurkation und Stabilität.- 5.5 Klassifikation von statischen Instabilitäten - ein elementarer Zugang zur Thomschen Katastrophentheorie.- 5.5.1 Der eindimensionale Fall.- 5.5.2 Der zweidimensionale Fall.- 5.5.3 Der n-dimensionale Fall.- 6. Zufall und Notwendigkeit.- 6.1 Die Langevin-Gleichungen: ein Beispiel.- 6.2 Reservoire und Zufallskräfte.- 6.3 Die Fokker-Planck-Gleichung.- 6.3.1 Die völlig deterministische Bewegung.- 6.3.2 Ableitung der Fokker-Planck-Gleichung, eindimensionale Bewegung.- 6.4 Einige Eigenschaften und stationäre Lösungen der Fokker-Planck-Gleichung.- 6.4.1 Die Fokker-Planck-Gleichung als Kontinuitätsgleichung.- 6.4.2 Stationäre Lösungen der Fokker-Planck-Gleichung.- 6.4.3 Beispiele.- 6.5 Zeitabhängige Lösungen der Fokker-Planck-Gleichung.- 6.5.1 Ein wichtiger Spezialfall: ein eindimensionales Beispiel.- 6.5.2 Die Reduktion der zeitabhängigen Fokker-Planck-Gleichung auf eine zeitunabhängige Gleichung.- 6.5.3 Eine formale Lösung.- 6.5.4 Ein Iterationsverfahren.- 6.6 Die Lösung der Fokker-Planck-Gleichung mittels Wegintegralen.- 6.6.1 Der eindimensionale Fall.- 6.6.2 Der n-dimensionale Fall.- 6.7 Die Analogie zu Phasenübergängen.- 6.8 Die Analogie zu Phasenübergängen in kontinuierlichen Medien: ortsabhängige Ordnungsparameter.- 7. Selbstorganisation.- 7.1 Organisation.- 7.2 Selbstorganisation.- 7.3 Die Rolle der Fluktuationen: Zuverlässigkeit oder Anpassungsfähigkeit? Schaltung.- 7.4 Adiabatische Elimination der schnell relaxierenden Variablen aus der Fokker-Planck-Gleichung.- 7.5 Adiabatische Elimination der schnell relaxierenden Variablen aus der Master-Gleichung.- 7.6 Selbstorganisation in räumlich ausgedehnten Medien. Eine Darstellung der mathematischen Methoden.- 7.7 Die verallgemeinerten Ginzburg-Landau-Gleichungen für Nichtgleichgewichtsphasenübergänge.- 7.8 Beiträge höherer Ordnung zu den verallgemeinerten Ginzburg-Landau-Gleichungen.- 8. Systeme der Physik.- 8.1 Kooperative Effekte beim Laser: Selbstorganisation und Phasenübergang.- 8.2 Die Lasergleichungen im Modenbild.- 8.2.1 Feldgleichungen.- 8.2.2 Materiegleichungen.- 8.3 Das Ordnungsparameter-Konzept.- 8.4 Der Einmodenlaser.- 8.5 Der Vielmodenlaser.- 8.6 Laser mit kontinuierlich vielen Moden. Die Analogie zur Supraleitung.- 8.7 Phasenübergänge erster Ordnung beim Einmodenlaser.- 8.7.1 Der Einmodenlaser mit vorgegebenem äußeren Signal.- 8.7.2 Der Einmodenlaser mit sättigbarem Absorber.- 8.7.3 Höhere Instabilitäten.- 8.8 Instabilitäten in der Flüssigkeitsdynamik: das Bénard- und das Taylor-Problem.- 8.9 Die Grundgleichungen.- 8.10 Gedämpfte und neutrale Lösungen.- 8.11 Die Lösung in der Umgebung R = Rc (nichtlinearer Bereich). Die effektiven Langevin-Gleichungen.- 8.12 Die Fokker-Planck-Gleichung und ihre stationäre Lösung.- 8.13 Ein Modell für die statistische Dynamik der Gunn-Instabilität nahe der Schwelle.- 8.14 Elastische Stabilität: Skizze einiger grundlegender Ideen.- 9. Systeme der Chemie und Biochemie.- 9.1 Chemische und biochemische Reaktionen.- 9.2 Deterministische Prozesse ohne Diffusion in einer Variablen.- 9.3 Reaktions- und Diffusions-Gleichungen.- 9.4 Ein Reaktions-Diffusions-Modell mit zwei oder drei Variablen: der Brusselator und der Oregonator.- 9.5 Stochastisches Modell für eine chemische Reaktion ohne Diffusion. Geburts- und Todesprozesse. Eine Variable.- 9.6 Stochastisches Modell für eine chemische Reaktion mit Diffusion. Eine Variable.- 9.7 Die stochastische Behandlung des Brusselators in der Umgebung seiner Instabilität, die mit einer weichen Mode verknüpft ist.- 9.8 Chemische Netzwerke.- 10. Anwendungen in der Biologie.- 10.1 Ökologie, Populationsdynamik.- 10.1.1 Wettbewerb und Koexistenz.- 10.1.2 Die Räuber-Beute-Beziehung.- 10.1.3 Die Symbiose.- 10.1.4 Einige allgemeine Bemerkungen.- 10.2 Stochastisches Modell für ein Räuber-Beute-System.- 10.3 Ein einfaches mathematisches Modell für evolutionäre Vorgänge sowie die Grundidee von Eigens Hyperzyklus.- 10.4 Ein Modell zur Morphogenese.- 10.5 Ordnungsparameter und Morphogenese.- 10.6 Einge Bemerkungen zu den Modellen der Morphogenese.- 11. Soziologie und Wirtschaftswissenschaften.- 11.1 Ein stochastisches Modell zur öffentlichen Meinungsbildung.- 11.2 Ein Ratengleichungsmodell zur öffentlichen Meinungsbildung..- 11.3 Phasenübergänge in der Wirtschaft.- 12. Chaos.- 12.1 Was ist Chaos?.- 12.2 Das Lorenz-Modell - seine Begründung und Realisierung.- 12.3 Wie Chaos entsteht.- 12.4 Chaos und das Versagen des Versklavungsprinzips.- 12.5 Korrelationsfunktion und Frequenzverteilung.- 12.6 Weitere Beispiele zu chaotische Bewegungen.- 13. Historische Bemerkungen und Ausblick.- Referenzen, weitere Literatur und Bemerkungen.