Übungsbuch Lineare Algebra für Dummies

Einfuhrung 17 Zu diesem Buch 17 Konventionen in diesem Buch 17 Torichte Annahmen uber den Leser 17 Wie dieses Buch aufgebaut ist 18 Teil I: Zu den Grundlagen der linearen Algebra 18 Teil II: Alles, was mit Vektoren zu tun hat 18 Teil III: Lineare Gleichungssysteme losen 19 Teil IV: Rund um die analytische Geometrie 19 Teil V: Matrizenrechnung und Determinanten beherrschen 19 Teil VI: Lineare Abbildungen und Basiswechsel behandeln 19 Teil VII: Eigenwerte bestimmen und Diagonalisieren 19 Teil VIII: Top Ten Teil 20 Symbole in diesem Buch 20 Wie es weitergeht 20 Teil I Zu den Grundlagen der linearen Algebra 21 Kapitel 1 Schnelleinstieg in die lineare Algebra 23 Was die Algebra linear macht 23 Einfache Probleme angehen 25 Auflosen von linearen Gleichungen 26 Von Gleichungen zu Gleichungssystemen 27 Losungen der Aufgaben zum Schnelleinstieg in die lineare Algebra 29 Kapitel 2 Rechnen mit komplexen Zahlen 34 Konjugiert komplexe Zahlen ermitteln 34 Addition und Subtraktion komplexer Zahlen 36 Multiplikation komplexer Zahlen 37 Division von komplexen Zahlen 38 Betrage komplexer Zahlen bestimmen 39 Losungen der Aufgaben zu den komplexen Zahlen 41 Kapitel 3 Korpergesetze fur sich ausnutzen 44 Uberprufen von Korpergesetzen 44 Elementare Termumformungen anwenden 48 Der Korper der rationalen Zahlen 49 Der Korper der komplexen Zahlen 51 Losungen der Aufgaben zu den Korpergesetzen 52 Teil II Alles, was mit Vektoren zu tun hat 59 Kapitel 4 Vektoroperationen leicht gemacht 61 Ganz einfache Vektoroperationen 61 Addition von Vektoren 62 Skalare Multiplikation von Vektoren 63 Das Skalarprodukt von Vektoren 64 Die Norm eines Vektors 65 Jetzt wird es schwieriger: das Kreuzprodukt 67 Winkel zwischen Vektoren 69 Technische Anwendungsaufgaben 71 Losungen der Aufgaben der Vektoroperationen 73 Kapitel 5 Vektorraume mit Aussicht 79 Allgemeingultige Vektorraumeigenschaften 79 Polynome als Vektoren 81 Vektorraume aus Matrizen 82 Eigenschaften von Vektorraumen mit Skalarprodukt 84 Nicht schwindlig werden: Vektorraume aus linearen Abbildungen 86 Losungen der Aufgaben zu den Vektorraumen 87 Kapitel 6 Aufraumen in den Unterraumen 95 Vektorraumeigenschaften von Unterraumen uberprufen 95 Unterraume bestimmen, leicht gemacht 97 Summen und direkte Summen von Unterraumen 99 Ausnutzen von Dimensionen 102 Losungen der Aufgaben zu den Unterraumen 103 Kapitel 7 Basis und Dimension 113 Linearkombinationen finden 113 Basisvektoren von Vektorraumen ermitteln 115 Lineare Unabhangigkeit von Basisvektoren untersuchen 117 Erzeugendensysteme fur Vektorraume finden 119 Losungen der Aufgaben zu Basis und Dimension 122 Teil III Lineare Gleichungssysteme losen 133 Kapitel 8 Homogene lineare Gleichungssysteme 135 Triviale Losungen 135 Den Losungsraum erweitern 136 Das Gauss sche Eliminationsverfahren 137 Erweiterungen zum Gauss-Jordan-Algorithmus 141 Unterbestimmte Systeme und lineare Abhangigkeit 143 Losungen der Aufgaben zu homogenen LGS 145 Kapitel 9 Inhomogene lineare Gleichungssysteme 154 Ein LGS in eine Matrizengleichung uberfuhren 154 Inverse Matrizen zur Losung der Matrizengleichung 156 Bestimmung eines LGS uber die erweiterte Koeffizientenmatrix 157 Paradox: inkonsistente Systeme 159 Die Cramer sche Regel 161 Losungen der Aufgaben zu inhomogenen LGS 163 Kapitel 10 Parametrisierte LGS losen 172 Einfache parametrisierte LGS 172 Kniffligere Ausgangssituationen 175 Losungen der Aufgaben zu parametrisierten LGS 179 Teil IV Rund um die analytische Geometrie 191 Kapitel 11 Geometrische Grundelemente beherrschen 193 Geradenformen ermitteln 193 Die Gleichungsform 195 Darstellungsmoglichkeiten von Ebenen erkennen 196 Die Parameterform 197 Die Normalenform 198 Die Koordinatenform und die Achsenabschnittsform 201 Losungen der Aufgaben zu den geometrischen Grundelementen 202 Kapitel 12 Abstande berechnen und Objekte schneiden 211 Punkte im Fokus 211 Abstand von einem Punkt zu einer Ebene 213 Geraden untersuchen 214 Abstande paralleler Geraden berechnen 215 Abstande windschiefer Geraden ermitteln 216 Schnittpunkt und -winkel zweier Geraden herausfinden 218 Ebenen im Blick 220 Abstand einer Gerade zu einer parallelen Ebene 220 Schnittpunkt und -winkel von Gerade zu Ebene 220 Abstand zweier paralleler Ebenen 222 Schnittgerade und -winkel zwischen Ebenen 223 Losungen der Aufgaben zu Abstanden und Schnittobjekten 223 Kapitel 13 Geometrische Transformationen 232 Aufgaben zu affinen Abbildungen 232 Ausfuhren der Translation 233 Die Rotation als affine Abbildung 234 Spiegelungen leicht gemacht 235 Berechnen der Kontraktion 236 Die Hauptachsentransformation 237 Losungen der Aufgaben zu den geometrischen Transformationen 240 Teil V Matrizenrechnung und Determinanten beherrschen 247 Kapitel 14 Fit im Rechnen mit Matrizen 249 Addition von Matrizen durchfuhren 249 Skalare Multiplikation von Matrizen lernen 251 Matrix-Vektorprodukt einsetzen 252 Matrixmultiplikation uben 253 Transposition von Matrizen leicht gemacht 256 Adjungierte von Matrizen bestimmen 257 Komplementare Matrizen erzeugen 258 Losungen der Aufgaben zum Rechnen mit Matrizen 262 Kapitel 15 Matrizen invertieren 270 22 Matrizen schnell invertieren 270 Die Inverse von 33-Matrizen bestimmen 272 Inverse von hoherdimensionalen Matrizen erzeugen 274 Losungen der Aufgaben zum Invertieren von Matrizen 278 Kapitel 16 Determinanten bestimmen 286 Berechnung von Determinanten 286 fur 22-Matrizen 287 mit der Regel von Sarrus 288 Allgemeine Determinanten entwickeln 290 Rechenregeln fur Determinanten einsetzen 293 Losungen der Aufgaben zu Determinanten 294 Kapitel 17 Eigenschaften von Matrizen erforschen 300 Sind diese Matrizen regular? 300 Idempotente und nilpotente Matrizen erkennen 302 Eigenschaften hermitescher und schiefhermitescher Matrizen 304 Die Spur einer Matrix 306 Matrizen auf Ahnlichkeit untersuchen 307 Losungen der Aufgaben zu den Eigenschaften von Matrizen 309 Teil VI Lineare Abbildungen und Basiswechsel 313 Kapitel 18 Umgang mit linearen Abbildungen pflegen 315 Homomorphismen und Artverwandte 315 Bilder und Urbilder von Vektoren berechnen 316 Matrixdarstellungen linearer Abbildungen finden 318 Angabe von linearen Abbildungsvorschriften anhand der Matrixdarstellung 320 Kern und Bild von Vektorraumhomomorphismen ermitteln 322 Losungen der Aufgaben zum Umgang mit linearen Abbildungen 323 Kapitel 19 Mit Linearkombinationen und Koordinaten rechnen 329 Koeffizienten von Linearkombinationen ermitteln 329 Koordinaten in Abhangigkeit der jeweiligen Basen betrachten 330 Konkrete Probleme mittels Koordinatenvektoren spielend losen 332 Losungen der Aufgaben zu Linearkombinationen und Koordinaten 334 Kapitel 20 Basiswechsel von Homomorphismen 338 Die Ubergangsmatrix angeben 338 Basiswechsel fur Vektoren durchfuhren 341 Die Basis linearer Operatoren wechseln 343 Tipps und Tricks zum Basiswechsel bei allgemeinen Homomorphismen 345 Losungen der Aufgaben zum Basiswechsel 348 Teil VII Eigenwerte bestimmen und Diagonalisieren 355 Kapitel 21 Eigenwerte berechnen 357 Untersuchung auf Eigenwerte ... 357 von 22 Matrizen 358 von 33 Matrizen 359 von allgemeinen Matrizen 360 Eigenvektoren allgemein bestimmen 362 Bestimmung von Eigenwerten bei Dreiecksmatrizen 364 Losungen der Aufgaben zum Berechnen von Eigenwerten 366 Kapitel 22 Anwendungen von Eigenwerten 375 Potenzieren von Matrizen 375 Technische Fragestellungen losen 378 Eigenwerte in Differenzialgleichungen 380 Losungen der Aufgaben zu den Anwendungen von Eigenwerten 382 Kapitel 23 Das Spektrum des Spektralsatzes 389 Die charakteristische Gleichung ansetzen 389 Den Satz von Cayley-Hamilton uberprufen 391 Den Spektralsatz nachweisen 392 Hauptachsentransformationen und der Spektralsatz 394 Losungen der Aufgaben zum Spektralsatz 396 Teil VIII Top Ten Teil 405 Kapitel 24 Zehn typische Fehler vermeiden 407 Das Kreuzprodukt korrekt bestimmen 407 Losungen unterschlagen verboten 408 Vorzeichen beim Entwicklungssatz beachten 408 Invertierung nur regularer Matrizen 408 Typische Fehler im Gauss-Algorithmus vermeiden 409 Geometrische Uberlegungen bei der Diagonalisierung anstellen 410 Peinliche Fehler bei der Probe umgehen 411 Invertierung von Matrizen uberprufen 411 Vektorkomponenten beim Basiswechsel vergleichen 411 Schnittobjekte einsetzen 412 Losungen von Gleichungssystemen gegenchecken 412 Stichwortverzeichnis 413