Numerische Mathematik

1. Rechnen.- §1. Zahlen und ihre Darstellung.- 1.1 Zahldarstellung zu beliebiger Basis.- 1.2 Realisierung von Zahldarstellungen auf Rechenhilfsmitteln.- 1.3 Rechnen im Dualsystem.- 1.4 Festkomma-Arithmetik.- 1.5 Gleitkomma-Arithmetik.- 1.6 Aufgaben.- §2. Operationen mit Gleitkommazahlen.- 2.1 Die Rundungsvorschrift.- 2.2 Verknüpfung von Gleitkommazahlen.- 2.3 Numerisch stabile bzw. instabile Auswertung von Formeln.- 2.4 Aufgaben.- §3. Fehleranalysen.- 3.1 Die Kondition eines Problems.- 3.2 Abschätzung der Rundungsfehler durch Vorwärtsanalyse.- 3.3 Die Rückwärtsanalyse des Rundungsfehlers.- 3.4 Intervallarithmetik.- 3.5 Aufgaben.- §4. Algorithmen.- 4.1 Der euklidische Algorithmus.- 4.2 Bewertung von Algorithmen.- 4.3 Komplexität von Algorithmen.- 4.4 Berechnung der Komplexität einiger Algorithmen.- 4.5 Ein Konzept zur Verbesserung der Komplexitätsordnung.- 4.6 Schnelle Matrixmultiplikation.- 4.7 Aufgaben.- 2. Lineare Gleichungssysteme.- §1. Das Eliminationsverfahren nach Gauß.- 1.1 Notation und Aufgabenstellung.- 1.2 Der Rechenprozeß.- 1.3 Das Gaußsche Verfahren als Dreieckszerlegung.- 1.4 Einige spezielle Matrizen.- 1.5 Bemerkungen zur Pivotsuche.- 1.6 Komplexität des Gaußschen Algorithmus.- 1.7 Aufgaben.- §2. Die Cholesky-Zerlegung.- 2.1 Erinnerung an Bekanntes über positiv definite (n × n)-Matrizen.- 2.2 Der Satz von der Cholesky-Zerlegung.- 2.3 Komplexität der Cholesky-Zerlegung.- 2.4 Aufgaben.- §3. Die QR-Zerlegung nach Householder.- 3.1 Householder-Matrizen.- 3.2 Die Grundaufgabe.- 3.3 Der Algorithmus nach Householder.- 3.4 Komplexität der QR-Zerlegung.- 3.5 Aufgaben.- §4. Vektornormen und Normen von Matrizen.- 4.1 Normen auf Vektorräumen.- 4.2 Die natürliche Norm einer Matrix.- 4.3 Spezielle Normen von Matrizen.- 4.4 Aufgaben.- §5. Fehlerabschätzungen.- 5.1 Kondition einer Matrix.- 5.2 Eine Fehlerabschätzung bei gestörter Matrix.- 5.3 Brauchbare Lösungen.- 5.4 Aufgaben.- §6. Schlechtkonditionierte Probleme.- 6.1 Die Singulärwertzerlegung einer Matrix.- 6.2 Pseudonormallösungen linearer Gleichungssysteme.- 6.3 Die Pseudoinverse einer Matrix.- 6.4 Zurück zu linearen Gleichungssystemen.- 6.5 Verbesserung der Kondition und Regularisierung eines linearen Gleichungssystems.- 6.6 Aufgaben.- 3. Eigenwerte.- §1. Reduktion auf Tridiagonal- bzw. Hessenberg-Gestalt.- 1.1 Das Householder-Verfahren.- 1.2 Berechnung der Eigenwerte von Tridiagonalmatrizen.- 1.3 Berechnung der Eigenwerte von Hessenberg-Matrizen.- 1.4 Aufgaben.- §2. Die Jacobi-Rotation; Eigenwertabschätzungen.- 2.1 Das Jacobi-Verfahren.- 2.2 Abschätzungen der Eigenwerte.- 2.3 Aufgaben.- §3. Die Potenzmethode.- 3.1 Ein iterativer Ansatz.- 3.2 Berechnung der Eigenvektoren und weiterer Eigenwerte.- 3.3 Der Rayleigh-Quotient.- 3.4 Aufgaben.- §4. Der QR-Algorithmus.- 4.1 Konvergenz des QR-Algorithmus.- 4.2 Bemerkungen zum LR-Algorithmus.- 4.3 Aufgaben.- 4. Approximation.- §1. Vorbereitungen.- 1.1 Normierte Vektorräume.- 1.2 Banachräume.- 1.3 Hilberträume und Prae-Hilberträume.- 1.4 Die Räume Lp[a, b].- 1.5 Lineare Operatoren.- 1.6 Aufgaben.- §2. Die Approximationssätze von Weierstraß.- 2.1 Approximation durch Polynome.- 2.2 Der Approximationssatz für stetige Funktionen.- 2.3 Der Gedankenkreis von Korovkin.- 2.4 Anwendungen des Satzes 2.3..- 2.5 Approximationsgüte.- 2.6 Aufgaben.- §3. Das allgemeine Approximationsproblem.- 3.1 Beste Näherungen.- 3.2 Existenz eines Proximums.- 3.3 Eindeutigkeit des Proximums.- 3.4 Lineare Approximation.- 3.5 Eindeutigkeit in endlichdimensionalen linearen Unterräumen.- 3.6 Aufgaben.- §4. Gleichmäßige Approximation.- 4.1 Approximation durch Polynome.- 4.2 Haarsche Räume.- 4.3 Der Alternantensatz.- 4.4 Eindeutigkeit.- 4.5 Eine Abschätzung.- 4.6 Berechnung des Proximums.- 4.7 Tschebyschev-Polynome 1. Art.- 4.8 Entwicklung nach Tschebyschev-Polynomen.- 4.9 Konvergenz der Proxima.- 4.10 Zur nichtlinearen Approximation.- 4.11 Bemerkungen zur Approximationsaufgabe in (C[a, b], ? · ?1).- 4.12 Aufgaben.- §5. Approximation in Prae-Hilberträumen.- 5.1 Charakterisierung des Proximums.- 5.2 Die Normalgleichungen.- 5.3 Orthonormalsysteme.- 5.4 Die Legendreschen Polynome.- 5.5 Eigenschaften orthonormierter Polynome.- 5.6 Konvergenz in C[a, b].- 5.7 Approximation stückweise stetiger Funktionen.- 5.8 Trigonometrische Approximation.- 5.9 Aufgaben.- §6. Die Methode der kleinsten Quadrate.- 6.1 Diskrete Approximation.- 6.2 Die Lösung der Normalgleichungen.- 6.3 Ausgleichung durch Polynome.- 6.4 Zusammenfallende Stützstellen.- 6.5 Diskrete Approximation durch trigonometrische Funktionen.- 6.6 Aufgaben.- 5. Interpolation.- §1. Das Interpolationsproblem.- 1.1 Interpolation in Haarschen Räumen.- 1.2 Interpolation durch Polynome.- 1.3 Das Restglied.- 1.4 Abschätzungen.- 1.5 Aufgaben.- §2. Interpolationsmethoden und Restglied.- 2.1 Ansatz von Lagrange.- 2.2 Ansatz von Newton.- 2.3 Steigungen.- 2.4 Die allgemeine Peanosche Restglieddarstellung.- 2.5 Eine ableitungsfreie Fehlerabschätzung.- 2.6 Verbindung zur Analysis.- 2.7 Aufgaben.- §3. Gleichabständige Stützstellen.- 3.1 Das Differenzenschema.- 3.2 Darstellungen des Interpolationspolynoms.- 3.3 Numerische Differentiation.- 3.4 Aufgaben.- §4. Konvergenz von Interpolationspolynomen.- 4.1 Beste Interpolation.- 4.2 Konvergenzprobleme.- 4.3 Konvergenzaussagen.- 4.4 Aufgaben.- §5. Spezielle Interpolationen.- 5.1 Das Hornerschema.- 5.2 Der Algorithmus von Aitken-Neville.- 5.3 Hermite-Interpolation.- 5.4 Trigonometrische Interpolation.- 5.5 Interpolation im Komplexen.- 5.6 Aufgaben.- §6. Mehrdimensionale Interpolation.- 6.1 Verschiedene Interpolationsaufgaben.- 6.2 Interpolation auf Rechtecken.- 6.3 Abschätzung des Interpolationsfehlers.- 6.4 Aufgaben 242.- 6. Splines.- §1. Polynom-Splines.- 1.1 Splineräume.- 1.2 Basis eines Splineraums.- 1.3 Proxima in Splineräumen.- 1.4 Aufgaben.- §2. Interpolierende Splines.- 2.1 Splines ungeraden Grades.- 2.2 Eine Extremaleigenschaft der Splines.- 2.3 Quadratische Splines.- 2.4 Konvergenzverhalten.- 2.5 Aufgaben.- §3. B-Splines.- 3.1 Existenz von B-Splines.- 3.2 Lokale Basen.- 3.3 Weitere Eigenschaften von B-Splines.- 3.4 Lineare B-Splines.- 3.5 Quadratische B-Splines.- 3.6 Kubische B-Splines.- 3.7 Aufgaben.- §4. Berechnung interpolierender Splines.- 4.1 Kubische Splines.- 4.2 Quadratische Splines.- 4.3 Ein allgemeines Interpolationsproblem.- 4.4 Aufgaben.- §5. Abschätzungen und Approximation durch Splines.- 5.1 Fehlerabschätzungen für lineare Splines.- 5.2 Zur gleichmäßigen Approximation durch lineare Splines.- 5.3 Ausgleichen durch lineare Splines.- 5.4 Fehlerabschätzungen für Splines höheren Grades.- 5.5 Ausgleichssplines höheren Grades.- 5.6 Aufgaben.- §6. Mehrdimensionale Splines.- 6.1 Bilineare Splines.- 6.2 Bikubische Splines.- 6.3 Blende-Splines.- 6.4 Aufgaben.- 7. Integration.- §1. Interpolationsquadratur.- 1.1 Rechteckregeln.- 1.2 Die Sehnentrapezregel.- 1.3 Die Euler-MacLaurinsche Entwicklung.- 1.4 Die Simpsonsche Regel.- 1.5 Newton-Cotes-Formeln.- 1.6 Unsymmetrische Quadraturformeln.- 1.7 Aufgaben.- §2. Schrittweitenextrapolation.- 2.1 Das Halbierungsverfahren.- 2.2 Fehlerbetrachtung.- 2.3 Extrapolation.- 2.4 Konvergenz.- 2.5 Aufgaben.- §3. Numerische Integration nach Gauß.- 3.1 Ansatz von Gauß.- 3.2 Gauß-Quadratur als Interpolationsquadratur.- 3.3 Fehlerdarstellung.- 3.4 Modifikationen.- 3.5 Uneigentliche Integrale.- 3.6 Stützstellen und Gewichte Gaußscher Quadraturformeln.- 3.7 Aufgaben.- §4. Spezielle Quadraturen.- 4.1 Integration über ein unendliches Intervall.- 4.2 Singulärer Integrand.- 4.3 Periodische Funktionen.- 4.4 Aufgaben.- §5. Optimalität und Konvergenz.- 5.1 Normminimierung.- 5.2 Minimaler Einfluß zufälliger Fehler.- 5.3 Optimale Quadraturformeln.- 5.4 Konvergenz von Quadraturformeln.- 5.5 Quadraturoperatoren.- 5.6 Aufgaben.- §6. Mehrdimensionale Integration.- 6.1 Kartesische Produkte.- 6.2 Integration über Standardgebiete.- 6.3 Die Monte-Carlo-Methode.- 6.4 Aufgaben.- 8. Iteration.- §1. Das allgemeine Iterationsverfahren.- 1.1 Anschauliche Deutung des Iterationsverfahrens.- 1.2 Konvergenz des Iterationsverfahrens.- 1.3 Lipschitzkonstanten.- 1.4 Fehlerabschätzung.- 1.5 Konvergenzverhalten und Konvergenzgüte.- 1.6 Aufgaben.- §2. Das Newton-Verfahren.- 2.1 Konvergenzbeschleunigung des Iterationsverfahrens.- 2.2 Geometrische Deutung.- 2.3 Mehrfache Nullstellen.- 2.4 Das Sekantenverfahren.- 2.5 Das Newton-Verfahren für m > 1.- 2.6 Wurzeln algebraischer Gleichungen.- 2.7 Aufgaben.- §3. Iterative Lösung linearer Gleichungssysteme.- 3.1 Folgen von Iterationsmatrizen.- 3.2 Das Gesamtschrittverfahren.- 3.3 Das Einzelschrittverfahren.- 3.4 Der Satz von Stein und Rosenberg.- 3.5 Aufgaben.- §4. Weitere Konvergenzuntersuchungen.- 4.1 Relaxation beim Gesamtschrittverfahren.- 4.2 Relaxation beim Einzelschrittverfahren.- 4.3 Optimale Relaxationsparameter.- 4.4 Aufgaben.- 9. Lineare Optimierung.- §1. Einführende Beispiele, allgemeine Problemstellung.- 1.1 Eine optimale Produktionsplanung.- 1.2 Ein semiinfinites Optimierungsproblem.- 1.3 Ein lineares Steuerungsproblem.- 1.4 Die allgemeine Problemstellung.- 1.5 Aufgaben.- §2. Polyeder.- 2.1 Charakterisierung von Ecken.- 2 2 Existenz von Ecken.- 2.3 Das Hauptergebnis.- 2.4 Eine weitere Charakterisierung von Ecken.- 2.5 Aufgaben.- §3. Das Simplexverfahren.- 3.1 Vorbereitungen.- 3.2 Der Eckenaustausch ohne Entartung.- 3.3 Startecken.- 3.4 Bemerkungen zu entarteten Ecken.- 3.5 Die Zweiphasenmethode.- 3.6 Das revidierte Simplexverfahren.- 3.7 Aufgaben.- §4. Betrachtungen zur Komplexität.- 4.1 Die Beispiele von Klee und Minty.- 4.2 Zum Durchschnittsverhalten von Algorithmen.- 4.3 Laufzeitverhalten von Algorithmen.- 4.4 Polynomiale Algorithmen.- 4.5 Aufgaben.- Literatur.- Bezeichnungen.- Namen- und Sachverzeichnis.