Theorie der Steinschen Räume

A. Garbentheorie.- § 0. Garben und Prägarben von Mengen.- 1. Garben und Garbenabbildungen.- 2. Summengarben. Untergarben. Einschränkungen.- 3. Schnittflächen.- 4. Prägarben. Der Schnittfunktor ?.- 5. Übergang von Prägarben zu Garben. Der Funktor ?.- 6. Die Garbenbedingungen G1 und G2.- 7. Direkte Produkte.- 8. Bildgarben.- 9. Garbenverklebung.- § 1. Garben mit algebraischer Struktur.- 1. Garben von Gruppen, Ringen und R-Moduln.- 2. Garbenhomomorphismen. Untergarben.- 3. Restklassengarben.- 4. Garben von k-Stellenalgebren.- 5. Algebraische Reduktion.- 6. Prägarben mit algebraischer Struktur.- 7. Zur Exaktheit von ? und ?.- § 2. Kohärente Garben und kohärente Funktoren.- 1. Endliche Garben.- 2. Relationsendliche Garben.- 3. Kohärente Garben.- 4. Kohärenz trivialer Fortsetzungen.- 5. Die Funktoren ? und $$ \wedge ^p$$.- 6. Der Funktor Hem Annulatorgarben.- 7. Quotientengarben.- §3. Komplexe Räume.- 1. k-algebrierte Räume.- 2. Differenzierbare und komplexe Mannigfaltigkeiten.- 3. Komplexe Räume. Holomorphe Abbildungen.- 4. Topologische Eigenschaften komplexer Räume.- 5. Analytische Mengen.- 6. Dimensionstheorie.- 7. Reduktion komplexer Räume.- 8. Normale komplexe Räume.- § 4. Weiche und welke Garben.- 1. Weiche Garben.- 2. Weichheit der Strukturgarbe differenzierbarer Mannigfaltigkeiten.- 3. Welke Garben.- 4. Exaktheit des Funktors ? für welke und weiche Garben.- B. Cohomologietheorie.- § 1. Welke Cohomologietheorie.- 1. Cohomologie von Komplexen.- 2. Welke Cohomologietheorie.- 3. Formales De Rhamsches Lemma.- § 2. ?echsche Cohomologietheorie.- 1. ?echkomplexe.- 2. Alternierende ?echkomplexe.- 3. Verfeinerungen. ?echsche Cohomologiemoduln ?Hq(X,S).- 4. Alternierende ?echsche Cohomologiemoduln ?Haq(X,S).- 5. Verschwindungssatz für kompakte Quader.- 6. Lange exakte Cohomologiesequenz.- §3. Leraysches Lemma und Isomorphiesatz ?Haq (X,S) ?? ?Hq(X,S) ?? Hq(X,S).- 1. Kanonische Garbenauflösung zu einer Überdeckung.- 2. Azyklische Überdeckungen.- 3. Leraysches Lemma.- 4. Der Isomorphiesatz ?Haq (X,S) ? ?Hq(X,S)? Hq(X,S).- I. Kohärenzsatz für endliche holomorphe Abbildungen.- § 1. Endliche Abbildungen und Bildgarben.- 1. Abgeschlossene und endliche Abbildungen.- 2. Die Bijektion $$f_* \left( s \right)_y \to \mathop \Pi \limits_{i = 1}^t s_{x_i } $$;.- 3. Exaktheit des Funktors f*.- 4. Die Isomorphismen $$H^q \left( {X,S} \right) \cong H^q \left( {Y,f_* \left( S \right)} \right)$$.- 5. Die Oy-Modulisomorphie $$\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{f} :f_* \left( S \right)_y \to \mathop \Pi \limits_1^t S_{x_i } $$.- § 2. Allgemeiner Weierstraßscher Divisionssatz und Weierstraßisomorphismus.- 1. Stetigkeit der Wurzeln.- 2. Allgemeiner Weierstraßscher Divisionssatz.- 3. Der Weierstraßisomorphismus $$O_B^b \mathop \sim \limits_ \to \pi _* \left( {O_A } \right)$$.- 4. Kohärenz des Funktors ?*.- § 3. Der Kohärenzsatz für endliche holomorphe Abbildungen.- 1. Lokaler Projektionssatz.- 2. Endliche holomorphe Abbildungen (lokaler Fall).- 3. Endliche holomorphe Abbildungen und Kohärenz.- II. Differentialformen und Dolbeaulttheorie.- § 1. Komplex-wertige Differentialformen auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten.- 1. Tangentialvektoren.- 2. Vektorfelder.- 3. Komplexe r-Vektoren.- 4. Liftung von r-Vektoren.- 5. Komplex-wertige Differentialformen.- 6. Äußere Ableitung.- 7. Liftung von Differentialformen.- 8. De Rhamsche Cohomologiegruppen.- § 2. Differentialformen auf komplexen Mannigfaltigkeiten.- 1. Die Garben A1,0,A0,1 und ?1.- 2. Die Garben Ap,q und ?p.- 3. Die Ableitungen $$\partial $$ und $$\bar \partial $$.- 4. Holomorphe Liftung von(p, q)-Formen.- § 3. Das Lemma von Grothendieck.- 1. Gebietsintegrale. Der OperatorT.- 2. Vertauschbarkeit von T mit partieller Differentiation.- 3. Cauchysche Integralformel und die Gleichung $$T\frac{{\partial f}}
{{\partial \bar z}} = f$$.- 4. Lemma von Grothendieck.- § 4. Dolbeaultsche Cohomologietheorie.- 1. Lösung des $$\bar \partial $$-Problems für kompakte Produktmengen.- 2. Dolbeaultsche Cohomologiegruppen.- 3. Analytische De Rham Theorie.- Supplement zu § 4.1. Ein Satz von Hartogs.- III. Theoreme A und B für kompakte Quader im ?m.- § 1. Heftungslemmata von Cousin und Cartan.- 1. Lemma von Cousin.- 2. Beschränkte holomorphe Matrizen.- 3. Lemma von Cartan.- § 2. Verheftung von Garbenepimorphismen.- 1. Approximationssatz von Runge.- 2. Heftungslemma für Garbenepimorphismen.- § 3. Theoreme A und B.- 1. Kohärente analytische Garben über kompakten Quadern.- 2. Formulierung der Theoreme A und B. Reduktion von Theorem B auf Theorem A.- 3. Beweis von Theorem A.- IV. Steinsche Räume.- §1. Der Verschwindungssatz Hq(X,S)=0.- 1. Steinsche Mengen. Folgerungen aus Theorem B.- 2. Konstruktion Steinscher Kompakta mittels des Kohärenzsatzes für endliche Abbildungen.- 3. Ausschöpfung komplexer Räume durch Steinsche Kompakta.- 4. Die Gleichungen Hq(X,S)=0 für q?2.- 5. Die Gleichung H1(X,S)=0. Steinsche Ausschöpfungen.- § 2. Schwache Holomorphiekonvexität und Pflaster.- 1. Holomorph-konvexe Hülle.- 2. Holomorph-konvexe Räume.- 3 Pflaster.- 4. Pflasterausschöpfungen. Schwach holomorph-konvexe Räume.- 5.Holomorphiekonvexität und unbeschränkte holomorphe Funktionen.- §3. Holomorph-vollständige Räume.- 1. Analytische Quader.- 2. Holomorph-ausbreitbare Räume.- 3. Holomorph-vollständige Räume.- § 4. Quaderausschöpfungen sind Steinsch.- 1. Gute Seminormen.- 2. Verträglichkeitssatz.- 3. Konvergenzsatz.- 4. Approximationssatz.- 5. Quaderausschöpfungen sind Steinsch.- V. Anwendungen der Theoreme A und B.- § 1. Beispiele Steinscher Räume.- 1. Standardkonstruktionen.- 2. Steinsche Überdeckungen.- 3. Resträume komplexer Räume.- 4. Die Räume ?2\0 und ?3\0.- 5. Klassische Beispiele.- 6. Steinsche Gruppen.- § 2. Cousin-Probleme und Poincaré-Problem.- 1. Cousin I-Problem.- 2. Cousin II-Problem.- 3. Poincaré-Problem.- 4. Die exakte Exponentialsequenz 0???O?O*?1.- 5. Okasches Prinzip.- § 3. Divisorenklassen und lokal-freie analytische Garben vom Rang 1.- 1. Divisoren und lokal-freie Garben vom Rang 1.- 2. Der Isomorphismus $$H^1 \left( {X,O^* } \right)\mathop \sim \limits_ \to LF\left( X \right)$$.- 3. Divisorenklassengruppe Steinscher Räume.- §4. Garbentheoretische Charakterisierung Steinscher Räume.- 1. Zykeln und globale holomorphe Funktionen.- 2. Äquivalenzkriterium.- 3. Reduktionssatz.- 4. Differentialformen auf Steinschen Mannigfaltigkeiten.- 5. Topologische Eigenschaften Steinscher Räume.- § 5. Garbentheoretische Charakterisierung Steinscher Bereiche im ?m.- 1. Induktionsprinzip.- 2. Die Gleichungen H1(B,OB)=.=Hm-1(B,OB)=0.- 3. Darstellung der Eins.- 4. Charaktersatz.- § 6. Topologisierung von Schnittmoduln kohärenter Garben.- 0. Frécheträume.- 1. Topologie der kompakten Konvergenz.- 2. Eindeutigkeitssatz.- 3. Existenzsatz.- 4. Eigenschaften der kanonischen Topologie.- 5. Topologisierung von Cq(U,S) und Zq(U,S).- 6. Reduzierte komplexe Räume und kompakte Konvergenz.- 7. Konvergente Reihen.- § 7. Charaktertheorie Steinscher Algebren.- 1. Charaktere und Charakterideale.- 2. Endlichkeitslemma für Charakterideale.- 3. Die Homöomorphie ?:X?X(T).- 4. Komplex-analytische Struktur von X(T).- VI. Endlichkeitssatz.- § 1. Quadrat-integrierbare holomorphe Funktionen.- 1. Der Raum Oh(B).- 2. Bergmansche Ungleichung.- 3. Die Hilberträume Ohk(B).- 4. Saturierte Mengen. Minimumprinzip.- 5. Lemma von Schwarz.- § 2. Monotone Orthogonalbasen.- 1. Monotonie.- 2. Untergrad.- 3. Konstruktion monotoner Orthogonalbasen mittels Minimalfunktionen.- §3. Meßatlanten.- 1. Existenz.- 2. Der Hilbertraum Chq(U,S).- 3. Der Hilbertraum Zhq(U,S).- 4. Verfeinerungen.- § 4. Beweis des Endlichkeitssatzes.- 1. Glättungslemma.- 2. Endlichkeitslemma.- 3. Beweis des Endlichkeitssatzes.- VII. Kompakte Riemannsche Flächen.- § 1. Divisoren und lokal-freie Garben ?(D).- 0. Divisoren.- 1. Divisoren meromorpher Schnittflächen.- 2. Garben ?(D).- 3. Garben O(D).- § 2. Existenz globaler meromorpher Schnittflächen.- 1. Die Sequenz 0??(D)??(D')?T?0.- 2. Charakteristikensatz und Existenztheorem.- 3. Verschwindungssatz.- 4. Gradgleichung.- § 3. Der Satz von Riemann-Roch (vorläufige Fassung).- 1. Geschlecht. Satz von Riemann-Roch.- 2. Anwendungen.- § 4. Struktur lokal-freier Garben.- 1. Lokal-freie Untergarben.- 2. Existenz lokal-freier Untergarben.- 3. Kanonische Divisoren.- Supplement zu § 4. Satz von Riemann-Roch für lokal-freie Garben.- 1. Chernfunktion.- 2. Eigenschaften der Chernfunktion.- 3. Satz von Riemann-Roch.- §5. Die Gleichung H1(X,?)=0.- 1. Der ?-Homomorphismus O(np)(X)?Hom(H1(X,O(D)),H1(X,O(D+np)).- 2. Die Gleichungen H1(X, O(D+np))=0.- 3. Die Gleichung H1(X,?)=0.- § 6. Der Dualitätssatz von Serre.- 1. Hauptteilverteilungen bzgl. eines Divisors.- 2. Die Gleichung H1(X,O))=I(D).- 3. Linearformen.- 4. Die Ungleichung dim?(X)J?1.- 5. Residuenkalkül.- 6. Dualitätssatz.- § 7. Der Satz von Riemann-Roch (endgültige Fassung).- 1. Die Gleichung i(D)=l(K-D).- 2. Formel von Riemann-Roch.- 3. Theorem B für Garben O(D).- 4. Theorem A für Garben O(D).- 5. Existenz meromorpher Differentialformen.- 6. Lückensatz.- 7. Theoreme A und B für beliebige lokal-freie Garben.- 8. Hodge-Zerlegung von H1(X,?).- §8. Spaltung lokal-freier Garben.- 1. Die Zahl ?(?).- 2. Maximale Untergarben.- 3. Die Ungleichung ?(G)??(?)+2g.- 4. Spaltungskriterium.- 5. Satz von Grothendieck 238.- 6. Existenz der Spaltung.- 7. Eindeutigkeit der Spaltung.- Literatur.- Symbolverzeichnis.