Finite-Elemente-Methoden

I: Matrizen und Lineare Algebra.- 1. Grundbegriffe der Matrizenrechnung.- 1.1. Einführung.- 1.2. Definition und Bezeiehnung von Matrizen.- 1.3. Besondere Matrizen.- 1.4. Gleichheit, Addition und Subtraktion von Matrizen; Multiplikation mit einem Skalar.- 1.5. Matrizenmultiplikation.- 1.6. Die inverse Matrix.- 1.7. Teilung von Matrizen.- 1.8. Spur und Determinante einer Matrix.- Literatur.- 2. Vektoren, Matrizen und Tensoren.- 2.1. Einführung.- 2.2. Vektorräume, Unterräume und Spannweite einer Matrix.- 2.3. Matrizendarstellung der linearen Transformation.- 2.4. Weehsel der Basis.- 2.5. Matrizendarstellung von Variationsprinzipien.- 2.6. Definition von Tensoren.- 2.7. Das Eigenproblem Av=?v mit symmetrischer Matrix A.- 2.8. Der Rayleighsche Quotient und die Maximum-Minimum-Eigenschaft der Eigenwerte.- 2.9. Vektor- und Matrixnormen.- Literatur.- II: Die Methode der finiten Elemente.- 3. Einige Grundbegriffe ingenieurwissenschaftlicher Berechnungen.- 3.1. Einführung.- 3.2. Berechnung diskreter Systeme.- 3.2.1. Stationäre Probleme.- 3.2.2. Ausbreitungsprobleme.- 3.2.3. Eigenwertprobleme.- 3.2.4. Über das Wesen von Lösungen.- 3.3. Berechnung von kontinuierlichen Systemen.- 3.3.1. Differentielle Formulierung.- 3.3.2. Variationsformulierung.- 3.3.3. Verfahren des gewichteten Restes; Ritzsches Verfahren.- 3.4. Zwangsbedingungen.- Literatur.- 4. Formulierung der Methode der finiten Elemente; lineare Berechnungen in der Festkörper- und Strukturmechanik.- 4.1. Einführung.- 4.2. Formulierung der Verschiebungsmethode.- 4.2.1. Allgemeine Ableitung der Gleichgewichtsbedingungen für finite Elemente.- 4.2.2. Vorgabe von Randbedingungen.- 4.2.3. Verallgemeinerte Koordinatenmodelle für spezielle Probleme.- 4.2.4. Konzentration von Struktureigenschaften und Lasten.- 4.2.5. Konvergenz von Rechenergebnissen.- 4.2.6. Spannungsberechnung.- 4.3. Inkompatible, gemischte und hybride Finite-Elemente-Modelle; Methoden der finiten Differenzen.- 4.3.1. Kompatible Modelle.- 4.3.2. Gemischte und hybride Modelle.- 4.3.3. Differentielle und energetische Methoden der finiten Differenzen.- Literatur.- 5. Formulierung und Berechnung von isoparametrischen Finite-Elemente-Matrizen.- 5.1. Einführung.- 5.2. Isoparametrische Ableitung der Steifigkeitsmatrix eines Stabelementes.- 5.3. Formulierung von Elementen für Kontinua.- 5.3.1. Rechtwinklige Elemente.- 5.3.2. Dreieckselemente.- 5.3.3. Element-Matrizen im globalen Koordinatensystem.- 5.4. Formulierung von Strukturelementen.- 5.4.1. Balkenelemente.- 5.4.2. Platten- und Schalenelemente.- 5.5. Konvergenzbetrachtungen.- 5.5.1. Kontmuumselemente.- 5.5.2. Strukturelemente.- 5.6. Zugeordnete Elementfamilien.- 5.6.1. Verschiedenartige Interpolationen.- 5.6.2. Addition von inkompatiblen Moden.- 5.7. Numerische Integration.- 5.7.1. Interpolation mit einem Polynom.- 5.7.2. Newton-Cotes-Quadratur (eindimensionale Integration).- 5.7.3. Gauß-Quadratur (eindimensionale Integration).- 5.7.4. Integration in zwei und drei Dimensionen.- 5.8. Praktische Überlegungen zum Rechnen mit isoparametrischen Elementen.- 5.8.1. Numerische Integration.- 5.8.2. Spannungsberechnung.- 5.8.3. Einige Bemerkungen zur Modellbildung.- 5.9. Ein Computerprogramm für isoparametrische finite Elemente.- Literatur.- 6. Finite Elemente in der nichtlinearen Festkörper- und Strukturmechanik.- 6.1. Einführung in die Behandlung nichtlinearer Probleme.- 6.2. Formulierung der inkrementellen Bewegungsgleichungen in der Kontinuumsmechanik.- 6.2.1. Das Grundproblem.- 6.2.2. Spannungs- und Verzerrungstensoren.- 6.2.3. Totale und umgeformte Lagrangesche Formulierung, nur physikalisch nichtlineare Berechnung.- 6.3. Diskretisierung mit isoparametrischen finiten Elementen.- 6.3.1. Stab-und Seilelemente.- 6.3.2. Zweidimensionale Elemente für Axialsymmetrie sowie ebene Verzerrungs- und Spannungszustände.- 6.3.3. Dreidimensionale Festkörperelemente.- 6.3.4. Balkenelemente.- 6.3.5. Platten- und Schalenelemente.- 6.4. Verwendung von Materialgleichungen.- 6.4.1. Elastisches Materialverhalten.- 6.4.2. Nichtelastisches Materialverhalten unter besonderer Berücksichtigung von elastisch-plastischen und kriechenden Werkstoffen.- 6.5. Einige praktische UÜberlegungen.- 6.5.1. Der allgemeine Zugang zu nichtlinearen Berechnungen.- 6.5.2. Berechnung von Versagen, Knicken und Beulen.- 6.5.3. Verzerrung der Elemente.- 6.5.4. Ordnung der numerischen Integration.- Literatur.- 7. Finite-Elemente-Berechnungen von Wärmeübertragungs- und Feldproblemen sowie Flüssigkeitsströmungen.- 7.1. Einführung.- 7.2. Berechnung von Wärmeübertragungsproblemen.- 7.2.1. Klassische Wärmeübertragungsgleichungen.- 7.2.2. Inkrementelle Schritt-für-Schritt-Gleichungen.- 7.2.3. Finite-Elemente-Diskretisierung von Wärmeübertragungsgleichungen.- 7.3. Berechnung von Feldproblemen.- 7.3.1. Sickerströmung.- 7.3.2. Inkompressible, reibungsfreie Strömung.- 7.3.3. Torsion.- 7.4. Berechnung von Strömungen zäher, inkompressibler Flüssigkeiten.- 7.4.1. Geschwindigkeits-Druck-Formulierung.- 7.4.2. Formulierung nach dem Strafverfahren.- Literatur.- III : Lösung von Gleichgewichtsbedingungen und Bewegungsgleichungen.- 8. Lösung der Gleichgewichtsbedingungen in statischen Berechnungen.- 8.1. Einführung.- 8.2. Direkte Lösungen mit Algorithmen, die auf der Gaußschen Elimination beruhen.- 8.2.1. Einführung in die Gaußsche Elimination.- 8.2.2. Lösung mit der Gaußschen Elimination.- 8.2.3. Rechnerimplementierung der Gaußschen Ehmination - Die aktive Spaltenlösung.- 8.2.4. Faktorenzerlegung nach Cholesky, statische Kondensation, Substrukturen und frontale Lösung.- 8.2.5. Lösung von Gleichungen mit symmetrischen, nicht positiv definiten Koeffizientenmatrizen.- 8.3. Direkte Lösung mit orthogonalen Matrizen.- 8.3.1. Faktorenzerlegung nach Givens.- 8.3.2. Faktorenzerlegung nach Householder.- 8.4. Gauß-Seidel-Iteration.- 8.5. Lösungsfehler.- 8.6. Lösungen von nichtlinearen Gleichungen.- 8.6.1. Newton-Raphsonsche Schemen.- 8.6.2. Broyden-Fletscher-Goldfarb-Shannosche oder BFGS-Methode.- 8.6.3. Konvergenzkriterien.- Literatur.- 9. Lösung der Bewegungsgleichungen in kinetischen Berechnungen.- 9.1. Einführung.- 9.2. Direkte Integrationsmethoden.- 9.2.1. Die zentrale Differenzmethode.- 9.2.2. Die Houboltsche Methode.- 9.2.3. Die Wilsonsche ?-Methode.- 9.2.4. Die Newmarksche Methode.- 9.2.5. Verknüpfung von verschiedenen Integrationsoperatoren.- 9.3. Modenüberlagerung.- 9.3.1. Modale generahsierte Versehiebungen als neue Basis.- 9.3.2. Berechnungen ohne Berücksichtigung der Dämpfung.- 9.3.3. Berücksichtigung von Dämpfung.- 9.4. Analyse von direkten Integrationsverfahren.- 9.4.1. Näherung für die direkte Integration und Lastoperatoren.- 9.4.2. Stabilitätsanalyse.- 9.4.3. Analyse der Genauigkeit.- 9.4.4. Einige praktische Überlegungen.- 9.5. Lösung nichtlinearer Gleichungen in kinetischen Berechnungen.- 9.5.1. Explizite Integration.- 9.5.2. Implizite Integration.- 9.5.3. Lösung mit Modenüberlagerung.- 9.6. Lösung von anderen als Strukturproblemen.- Literatur.- 10. Vorbemerkungen zur Lösung von Eigenproblemen.- 10.1. Einleitung.- 10.2. Grundlagen für die Lösung von Eigensystemen.- 10.2.1. Eigenschaften der Eigenvektoren.- 10.2.2. Die charakteristischen Polynome des Eigenproblems K?=?M? und seiner zugeordenten Zwangsprobleme.- 10.2.3. Verschiebung (Shifting).- 10.2.4. Folgen des Verschwindens von Massen.- 10.2.5. Transformation des verallgemeinerten Eigenproblems K?=?M? auf eine Standardform.- 10.3. Näherungslösungsverfahren.- 10.3.1. Statische Kondensation.- 10.3.2. Rayleigh-Ritzsches Verfahren.- 10.3.3. Synthese von Komponentenmoden.- 10.3.4. Lanczossche Methode.- 10.4. Lösungsfehler.- Literatur.- 11. Lösungsverfahren für Eigenprobleme.- 11.1. Einführung.- 11.2. Vektor-Iterationsverfahren.- 11.2.1. Inverse Iteration.- 11.2.2. Vorwärtsiteration.- 11.2.3. Verschiebung in der Vektoriteration.- 11.2.4. Iteration mit Verschiebung um den Rayleighschen Quotienten.- 11.2.5. Matrixeinschränkung oder -deflation und Gram-Schmidtsche Orthogonalisierung.- 11.2.6. Einige praktische Überlegungen zur Vektoriteration.- 11.3. Transformationsverfahren.- 11.3.1. Die Jacobische Methode.- 11.3.2. Die verallgemeinerte Jacobische Methode.- 11.3.3. Die inverse Householdersche QR-Iterationslösung.- 11.4. Polynom-Iterationsverfahren.- 11.4.1. Explizite Polynom-Iteration.- 11.4.2. Implizite Polynom-Iteration.- 11.5. Verfahren, die auf der Eigenschaft der Sturmschen Folge beruhen.- Literatur.- 12. Lösung von großen Eigenproblemen.- 12.1. Einführung.- 12.2. Das Determinanten-Suchverfahren.- 12.2.1. Einleitende Betrachtungen.- 12.2.2. Der Lösungsalgorithmus.- 12.2.3. Einige Bemerkungen zur Implementierung des Determinanten-Suchverfahrens.- 12.3. Die Unterraum-Iterationsmethode.- 12.3.1. Vorbereitende Betrachtungen.- 12.3.2. Unterraum-Iteration.- 12.3.3. Start-Iterationsvektoren.- 12.3.4. Konvergenz.- 12.3.5. Implementierung der Unterraum-Iterationsmethode.- 12.3.6. Einige Bemerkungen zur Unterraum-Iterationsmethode.- Literatur.- Anhang: Implementierung der Finite-Elemente-Methode.- A.1. Einführung.- A.2. Organisation eines Computerprogramms zur Berechnung von Strukturmatrizen.- A.2.1. Einlesen von Knotenpunkt- und Element-Informationen.- A.2.2. Berechnung von Element-Steifigkeits- und Element- Massenmatrizen sowie äquivalenten Knotenlasten.- A.2.3. Gruppierung von Strukturmatrizen.- A.3. Berechnung der Element-Spannungen.- A.4. Das Programm STAP als ein Beispiel.- A.4.1. Dateneingabe für das Computerprogramm STAP.- A.4.2. Ausdruck des Programms STAP.- Literatur.