Algebra

1 Matrizen.- 1. Matrizenkalkül.- 2. Zeilenreduktion.- 3. Determinanten.- 4. Permutationsmatrizen.- 5. Cramersche Regel.- Aufgaben.- 2 Gruppen.- 1. Die Definition einer Gruppe.- 2. Untergruppen.- 3. Isomorphismen.- 4. Homomorphismen.- 5. Äquivalenzrelationen und Partitionen.- 6. Nebenklassen.- 7. Einschränkung von Homomorphismen auf Untergruppen.- 8. Produkte von Gruppen.- 9. Rechnen mit Kongruenzen.- 10. Faktorgruppen.- Aufgaben.- 3 Vektorräume.- 1. Reelle Vektorräume.- 2. Abstrakte Körper.- 3. Basen und Dimension.- 4. Rechnen mit Basen.- 5. Unendlichdimensionale Vektorräume.- 6. Direkte Summen.- Aufgaben.- 4 Lineare Abbildungen.- 1. Die Dimensionsformel.- 2. Lineare Abbildungen und Matrizen.- 3. Endomorphismen und Eigenvektoren.- 4. Das charakteristische Polynom.- 5. Orthogonale Matrizen und Drehungen.- 6. Diagonalisierbarkeit.- 7. Systeme von Differentialgleichungen.- 8. Die Exponentialabbildung für Matrizen.- Aufgaben.- 5 Symmetrie.- 1. Symmetrie ebener Figuren.- 2. Die Bewegungsgruppe der Ebene.- 3. Endliche Gruppen von Bewegungen.- 4. Diskrete Gruppen von Bewegungen.- 5. Abstrakte Symmetrie: Gruppenoperationen.- 6. Die Operation auf Nebenklassen.- 7. Zerlegen und Zählen.- 8. Permutationsdarstellungen.- 9. Endliche Untergruppen der Drehgruppe.- Aufgaben.- 6 Mehr Über Gruppen.- 1. Operationen einer Gruppe auf sich.- 2. Klassengleichung der Ikosaedergruppe.- 3. Operationen auf Teilmengen.- 4. Die Sylowschen Sätze.- 5. Die Gruppen der Ordnung 12.- 6. Rechnen in der symmetrischen Gruppe.- 7. Die freie Gruppe.- 8. Erzeugende und Relationen.- 9. Der Todd-Coxeter-Algorithmus.- Aufgaben.- 7 Bilinearformen.- 1. Definition einer Bilinearform.- 2. Symmetrische Bilinearformen.- 3. Geometrie und positiv definite Bilinearformen.- 4. Hermitesche Formen.- 5. Der Spektralsatz.- 6. Kegelschnitte und Quadriken.- 7. Der Spektralsatz für normale Endomorphismen.- 8. Schiefsymmetrische Bilinearformen.- 9. Zusammenfassung der Ergebnisse für Matrizen.- Aufgaben.- 8 Lineare Gruppen.- 1. Klassische lineare Gruppen.- 2. Die spezielle unitäre Gruppe SU2.- 3. Die orthogonale Darstellung von SU2.- 4. Die spezielle lineare Gruppe SL2(?).- 5. Einparameteruntergruppen.- 6. Lie-Algebren.- 7. Translation in einer Gruppe.- 8. Einfache Gruppen.- Aufgaben.- 9 Darstellungen Von Gruppen.- 1. Definition einer Darstellung.- 2. Invariante Formen und unitäre Darstellungen.- 3. Kompakte Gruppen.- 4. Invariante Unterräume und irreduzible Darstellungen.- 5. Charaktere.- 6. Permutationsdarstellungen und die reguläre Darstellung.- 7. Darstellungen der Ikosaedergruppe.- 8. Eindimensionale Darstellungen.- 9. Das Schursche Lemma und der Beweis der Orthogonalitätsrelationen.- 10. Darstellungen der Gruppe SU2.- Aufgaben.- 10 Ringe.- 1. Definition eines Ringes.- 2. Formale Konstruktion von ganzen Zahlen und Polynomen.- 3. Homomorphismen und Ideale.- 4. Restklassenringe und Relationen in einem Ring.- 5. Adjunktion von Elementen.- 6. Integritätsbereiche und Quotientenkörper.- 7. Maximale Ideale.- 8. Algebraische Geometrie.- Aufgaben.- 11 Faktorzerlegung.- 1. Faktorzerlegung von ganzen Zahlen und Polynomen.- 2. Faktorielle Ringe, Hauptidealringe und euklidische Ringe.- 3. Das Gaußsche Lemma.- 4. Explizite Zerlegung von Polynomen.- 5. Primelemente im Ring der ganzen Gaußschen Zahlen.- 6. Ganze algebraische Zahlen.- 7. Faktorzerlegung in imaginär-quadratischen Zahlkörpern.- 8. Faktorzerlegung von Idealen.- 9. Der Zusammenhang zwischen Primidealen und Primzahlen.- 10. Idealklassen in imaginär-quadratischen Zahlkörpern.- 11. Reell-quadratische Zahlkörper.- 12. Einige diophantische Gleichungen.- Aufgaben.- 12 Moduln.- 1. Die Definition eines Moduls.- 2. Matrizen, freie Moduln und Basen.- 3. Das Prinzip der universellen Gültigkeit von Identitäten.- 4. Diagonalisierbarkeit von ganzzahligen Matrizen.- 5. Erzeugende und Relationen für Moduln.- 6. Der Struktursatz für abelsche Gruppen.- 7. Anwendung auf Endomorphismen von Vektorräumen.- 8. Freie Moduln über Polynomringen.- Aufgaben.- 13 Körper.- 1. Beispiele von Körpern.- 2. Algebraische und transzendente Elemente.- 3. Der Grad einer Körpererweiterung.- 4. Konstruktionen mit Zirkel und Lineal.- 5. Symbolische Adjunktion von Nullstellen.- 6. Endliche Körper.- 7. Funktionenkörper.- 8. Transzendente Erweiterungen.- 9. Algebraisch abgeschlossene Körper.- Aufgaben.- 14 Galoistheorie.- 1. Der Hauptsatz der Galoistheorie.- 2. Kubische Gleichungen.- 3. Symmetrische Funktionen.- 4. Primitive Elemente.- 5. Beweis des Hauptsatzes.- 6. Gleichungen vierten Grades.- 7. Kummersche Erweiterungen.- 8. Kreisteilungserweiterungen.- 9. Gleichungen fünften Grades.- Aufgaben.- Anhang Vorkenntnisse.- 1. Mengenlehre.- 2. Beweistechniken.- 3. Topologie.- 4. Der Satz über implizite Funktionen.- Aufgaben.