Analysis III

IX Elemente der Maßtheorie.- 1 Meßbare Räume.- ?-Algebren.- Die Borelsche ?-Algebra.- Das zweite Abzählbarkeitsaxiom.- Erzeugung der Borelschen ?-Algebra durch Intervalle.- Basen topologischer Räume.- Die Produkttopologie.- Produkte Borelscher ?-Algebren.- Die Meßbarkeit von Schnitten.- 2 Maße.- Mengenfunktionen.- Maßräume.- Eigenschaften von Maßen.- Nullmengen.- 3 Äußere Maße.- Die Konstruktion äußerer Maße.- Das Lebesguesche äußere Maß.- Lebesgue-Stieltjessche äußere Maße.- Hausdorffsche äußere Maße.- 4 Meßbare Mengen.- Motivation.- Die ?-Algebra der ?* -meßbaren Mengen.- Lebesguesche und Hausdorffsche Maße.- Metrische Maße.- 5 Das Lebesguesche Maß.- Der Lebesguesche Maßraum.- Die Regularität des Lebesgueschen Maßes.- Eine Charakterisierung Lebesgue meßbarer Mengen.- Bilder Lebesgue meßbarer Mengen.- Die Translationsinvarianz des Lebesgueschen Maßes.- Eine Charakterisierung des Lebesgueschen Maßes.- Die Bewegungsinvarianz des Lebesgueschen Maßes.- Der spezielle Transformationssatz.- Nicht Lebesgue meßbare Mengen.- X Integrationstheorie.- 1 Meßbare Funktionen.- Einfache und meßbare Funktionen.- Ein Meßbarkeitskriterium.- Meßbare numerische Funktionen.- Der Verband der meßbaren numerischen Funktionen.- Punktweise Grenzwerte meßbarer Funktionen.- Radonmaße.- 2 Integrierbare Funktionen.- Das Integral für einfache Funktionen.- Die ?1-Seminorm.- Das Bochner-Lebesguesche Integral.- Die Vollständigkeit von ?1.- Elementare Eigenschaften des Integrals.- Konvergenz in ?1.- 3 Konvergenzsätze.- Integration nichtnegativer numerischer Funktionen.- Der Satz über die monotone Konvergenz.- Das Lemma von Fatou.- Integration numerischer Funktionen.- Der Satz von Lebesgue.- Parameterintegrale.- 4 Die Lebesgueschen Räume.- Wesentlich beschränkte Funktionen.- Die Höldersche und die Minkowskische Ungleichung.- Die Vollständigkeit der Lebesgueschen Räume.- Lp-Räume.- Stetige Funktionen mit kompaktem Träger.- Einbettungen.- Stetige Linearformen auf Lp.- 5 Das n-dimensionale Bochner-Lebesguesche Integral.- Lebesguesche Maßräume.- Das Lebesguesche Integral für absolut integrierbare Funktionen.- Eine Charakterisierung Riemann integrierbarer Funktionen.- 6 Der Satz von Fubini.- Fast-überall definierte Abbildungen.- Das Cavalierische Prinzip.- Anwendungen des Cavalierischen Prinzips.- Der Satz von Tonelli.- Der Satz von Fubini für skalare Funktionen.- Der Satz von Fubini für vektorwertige Funktionen.- Die Minkowskische Ungleichung für Integrale.- Eine Charakterisierung von Lp(?m+n, E).- Ein Spursatz.- 7 Die Faltung.- Die Definition der Faltung.- Translationsgruppen.- Elementare Eigenschaften der Faltung.- Approximative Einheiten.- Testfunktionen.- Glatte Zerlegungen der Eins.- Faltungen E-wertiger Funktionen.- Distributionen.- Lineare Differentialoperatoren.- Schwache Ableitungen.- 8 Der Transformationssatz.- Inverse Bilder des Lebesgueschen Maßes.- Der allgemeine Transformationssatz.- Ebene Polarkoordinaten.- n-dimensionale Polarkoordinaten.- Integration rotationssymmetrischer Funktionen.- Der Transformationssatz für vektorwertige Funktionen.- 9 Die Fouriertransformation.- Definition und elementare Eigenschaften.- Der Raum der schnell fallenden Funktionen.- Die Faltungsalgebra S.- Rechenregeln.- Der Fouriersche Integralsatz.- Faltungen und Fouriertransformationen.- Fouriermultiplikationsoperatoren.- Der Satz von Plancherel.- Symmetrische Operatoren.- Die Heisenbergsche Unschärferelation.- XI Mannigfaltigkeiten und Differentialformen.- 1 Untermannigfaltigkeiten.- Definitionen und element are Eigenschaften.- Submersionen.- Berandete Untermannigfaltigkeiten.- Lokale Karten.- Tangenten und Normalen.- Der Satz vom regulären Wert.- Eindimensionale Mannigfaltigkeiten.- Zerlegungen der Eins.- 2 Multilineare Algebra.- Äußere Produkte.- Rücktransformationen.- Das Volumenelement.- Der Rieszsche Isomorphismus.- Der Hodgesche Sternoperator.- Indefinite innere Produkte.- Tensoren.- 3 Die lokale Theorie der Differentialformen.- Definitionen und Basisdarstellungen.- Rücktransformationen.- Die äußere Ableitung.- Das Lemma von Poincaré.- Tensoren.- 4 Vektorfelder und Differentialformen.- Vektorfelder.- Lokale Basisdarstellungen.- Differentialformen.- Lokale Darstellungen.- Koordinatentransformationen.- Die äußere Ableitung.- Geschlossene und exakte Formen.- Kontraktionen.- Orientierbarkeit.- Tensorfelder.- 5 Riemannsche Metriken.- Das Volumenelement.- Riemannsche Mannigfaltigkeiten.- Der Sternoperator.- Die Koableitung.- 6 Vektoranalysis.- Der Rieszsche Isomorphismus.- Der Gradient.- Die Divergenz.- Der Laplace-Beltrami Operator.- Die Rotation.- Die Lie-Ableitung.- Der Hodge-Laplace Operator.- Das Vektorprodukt und die Rotation.- XII Integration auf Mannigfaltigkeiten.- 1 Volumenmaße.- Die Lebesguesche ?-Algebra von M.- Die Definition des VolumenMaßes.- Eigenschaften.- Integrierbarkeit.- Berechnung einiger Volumina.- 2 Integration von Differentialformen.- Integrale von m-Formen.- Restriktionen auf Untermannigfaltigkeiten.- Der Transformationssatz.- Der Satz von Fubini.- Berechnung einiger Integrale.- Flüsse von Vektorfeldern.- Das Transporttheorem.- 3 Der Satz von Stokes.- Der Stokessche Satz für glatte Mannigfaltigkeiten.- Mannigfaltigkeiten mit Singularitäten.- Der Stokessche Satz mit Singularitäten.- Ebene Gebiete.- Höherdimensionale Probleme.- Homotopieinvarianz und Anwendungen.- Der Gaußsche Integralsatz.- Die Greenschen Formeln.- Der klassische Stokessche Satz.- Der Sternoperator und die Koableitung.