Analysis II

VI Integralrechnung in einer Variablen.- 1 Sprungstetige Funktionen.- Treppen- und sprungstetige Funktionen.- Eine Charakterisierung sprungstetiger Funktionen.- Der Banachraum der sprungstetigen Funktionen.- 2 Stetige Erweiterungen.- Der Erweiterungssatz für gleichmäßig stetige Funktionen.- Beschränkte lineare Operatoren.- Die stetige Erweiterung beschränkter linearer Operatoren.- 3 Das Cauchy-Riemannsche Integral.- Das Integral für Treppenfunktionen.- Das Integral für sprungstetige Funktionen.- Riemannsche Summen.- 4 Eigenschaften des Integrals.- Integration von Funktionenfolgen.- Das orientierte Integral.- Positivität und Monotonie des Integrals.- Komponentenweise Integration.- Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.- Das unbestimmte Integral.- Der Mittelwertsatz der Integralrechnung.- 5 Die Technik des Integrierens.- Variablensubstitution.- Partielle Integration.- Die Integration rationaler Funktionen.- 6 Summen und Integrale.- Die Bernoullischen Zahlen.- Rekursionsformeln.- Die Bernoullischen Polynome.- Die Euler-Maclaurinsche Summenformel.- Potenzsummen.- Asymptotische Äquivalenz.- Die Riemannsche ?-Funktion.- Die Sehnentrapezregel.- 7 Fourierreihen.- Das L2-Skalarprodukt.- Die Approximation im quadratischen Mittel.- Orthonormalsysteme.- Die Integration periodischer Funktionen.- Fourierkoeffizienten.- Klassische Fourierreihen.- Die Besselsche Ungleichung.- Vollständige Orthonormalsysteme.- Stückweise stetig differenzierbare Funktionen.- Gleichmäßige Konvergenz.- 8 Uneigentliche Integrale.- Zulässige Funktionen.- Uneigentliche Integrale.- Der Integralvergleichssatz für Reihen.- Absolut konvergente Integrale.- Das Majorantenkriterium.- 9 Die Gammafunktion.- Die Eulersche Integraldarstellung.- Die Gammafunktion auf ?\(-?).- Die Gaußsche Darstellung.- Die Ergänzungsformel.- Die logarithmische Konvexität der Gammafunktion.- Die Stirlingsche Formel.- Das Eulersche Betaintegral.- VII Differentialrechnung mehrerer Variabler.- 1 Stetige lineare Abbildungen.- Die Vollständigkeit von L(E, F).- Endlichdimensionale Banachräume.- Matrixdarstellungen.- Die Exponentialabbildung.- Lineare Differentialgleichungen.- Das Gronwallsche Lemma1.- Die Variation-der-Konstanten-Formel.- Determinanten und Eigenwerte.- Fundamentalmatrizen.- Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung.- 2 Differenzierbarkeit.- Die Definition.- Die Ableitung.- Richtungsableitungen.- Partielle Ableitungen.- Die Jacobimatrix.- Ein Differenzierbarkeitskriterium.- Der Rieszsche Darstellungssatz.- Der Gradient.- Komplexe Differenzierbarkeit.- 3 Rechenregeln.- Linearität.- Die Kettenregel.- Die Produktregel.- Mittelwertsätze.- Die Differenzierbarkeit von Funktionenfolgen.- Notwendige Bedingungen für lokale Extrema.- 4 Multilineare Abbildungen.- Stetige multilineare Abbildungen.- Der kanonische Isomorphismus.- Symmetrische multilineare Abbildungen.- Die Ableitung multilinearer Abbildungen.- 5 Höhere Ableitungen.- Definitionen.- Partielle Ableitungen höherer Ordnung.- Die Kettenregel.- Taylorsche Formeln.- Funktionen von m Variablen.- Hinreichende Kriterien für lokale Extrema.- 6 Nemytskiioperatoren und Variationsrechnung.- Nemytskiioperatoren.- Die Stetigkeit von Nemytskiioperatoren.- Die Differenzierbarkeit von Nemytskiioperatoren.- Die Differenzierbarkeit von Parameterintegralen.- Variationsprobleme.- Die Euler-Lagrangesche Gleichung.- Klassische Mechanik.- 7 Umkehrabbildungen.- Die Ableitung der Inversion linearer Abbildungen.- Der Satz über die Umkehrabbildung.- Diffeomorphismen.- Die Lösbarkeit nichtlinearer Gleichungssysteme.- 8 Implizite Funktionen.- Differenzierbare Abbildungen auf Produkträumen.- Der Satz über implizite Funktionen.- Reguläre Werte.- Gewöhnliche Differentialgleichungen.- Separation der Variablen.- Lipschitz-Stetigkeit und Eindeutigkeit.- Des Satz von Picard-Lindelöf.- 9 Mannigfaltigkeiten.- Untermannigfaltigkeiten des ?n.- Graphen.- Der Satz vom regulären Wert.- Der Immersionssatz.- Einbettungen.- Lokale Karten und Parametrisierungen.- Kartenwechsel.- 10 Tangenten und Normalen.- Das Tangential in ?n.- Der Tangentialraum.- Charakterisierungen des Tangentialraumes.- Differenzierbare Abbildungen.- Das Differential und der Gradient.- Normalen.- Extrema mit Nebenbedingungen.- Anwendungen der Lagrangeschen Multiplikatorenregel.- VIII Kurvenintegrale.- 1 Kurven und ihre Länge.- Die totale Variation.- Rektifizier bare Wege.- Differenzierbare Kurven.- Rektifizierbare Kurven.- 2 Kurven in ?n.- Tangenteneinheitsvektoren.- Parametrisierungen nach der Bogenlänge.- Orientierte Basen.- Das Frenetsche n-Bein.- Die Krümmung ebener Kurven.- Eine Kennzeichnung von. Geraden und Kreisen.- Krümmungskreise und Evoluten.- Das Vektorprodukt.- Die Krümmung und die Torsion von Raumkurven.- 3 Pfaffsche Formen.- Vektorfelder und Pfaffsche Formen.- Die kanonischen Basen.- Exakte Formen und Gradientenfelder.- Das Poincarésche Lemma.- Duale Operatoren.- Transformationsregeln.- Moduln.- 4 Kurvenintegrale.- Die Definition.- Elementare Eigenschaften.- Der Hauptsatz über Kurvenintegrale.- Einfach zusammenhängende Mengen.- Die Homotopieinvarianz des Kurvenintegrals.- 5 Holomorphe Funktionen.- Komplexe Kurvenintegrale.- Holomorphie.- Der Cauchysche Integralsatz.- Die Orientierung der Kreislinie.- Die Cauchysche Integralformel.- Analytische Funktionen.- Der Satz von Liouville.- Die Fresnelschen Integrale.- Das Maximumprinzip.- Harmonische Funktionen.- Der Satz von Goursat.- Der Weierstraßsche Konvergenzsatz.- 6 Meromorphe Funktionen.- Die Laurentsche Entwicklung.- Hebbare Singularitäten.- Isolierte Singularitäten.- Einfache Pole.- Die Windungszahl.- Die Stetigkeit der Umlaufzahl.- Der allgemeine Cauchysche Integralsatz.- Der Residuensatz.- Fourierintegrale.