Analysis I

I Grundlagen.- 1 Logische Grundbegriffe.- 2 Mengen.- Elementare Tatsachen.- Die Potenzmenge.- Komplemente, Durchschnitte und Vereinigungen.- Produkte.- Mengensysteme.- 3 Abbildungen.- Einfache Beispiele.- Die Komposition von Abbildungen.- Kommutative Diagramme.- Injektionen, Surjektionen und Bijektionen.- Umkehrabbildungen.- Mengenabbildungen.- 4 Relationen und Verknüpfungen.- Äquivalenzrelationen.- Ordnungsrelationen.- Verknüpfungen.- 5 Die natürlichen Zahlen.- Die Peano-Axiome.- Rechenregeln.- Der euklidische Algorithmus.- Das Induktionsprinzip.- Rekursive Definitionen.- 6 Abzählbarkeit.- Permutationen.- Der Mächtigkeitsbegriff.- Abzählbare Mengen.- Unendliche Produkte.- 7 Gruppen und Homomorphismen.- Gruppen.- Untergruppen.- Restklassen.- Homomorphismen.- Isomorphismen.- 8 Ringe, Körper und Polynome.- Ringe.- Der binomische Satz.- Multinomialformeln.- Körper.- Angeordnete Körper.- Formale Potenzreihen.- Polynome.- Polynomiale Funktionen.- Division mit Rest.- Linearfaktoren.- Polynome in mehreren Unbestimmten.- 9 Die rationalen Zahlen.- Die ganzen Zahlen.- Die rationalen Zahlen.- Rationale Nullstellen von Polynomen.- Quadratwurzeln.- 10 Die reellen Zahlen.- Die Ordnungsvollständigkeit.- Die Dedekindsche Konstruktion der reellen Zahlen.- Die natürliche Ordnung von ?.- Die erweiterte Zahlengerade.- Eine Charakterisierung von Supremum und Infimum.- Der Satz von Archimedes.- Die Dichtheit der rationalen Zahlen in ?.- n-te Wurzeln.- Die Dichtheit der irrationalen Zahlen in ?.- Intervalle.- 11 Die komplexen Zahlen.- Eine Konstruktion der komplexen Zahlen.- Elementare Eigenschaften.- Rechenregeln.- Bälle in K.- 12 Vektorräume, afflne Räume und Algebren.- Vektorräume.- Lineare Abbildungen.- Vektorraumbasen.- Affine Räume.- Affine Abbildungen.- Polynominterpolation.- Algebren.- Differenzenoperatoren und Summenformeln.- Newtonsche Interpolationspolynome.- II Konvergenz.- 1 Konvergenz von Folgen.- Folgen.- Metrische Räume.- Haufungspunkte.- Konvergenz.- Beschränkte Mengen.- Eindeutigkeitsaussagen.- Teilfolgen.- 2 Das Rechnen mit Zahlenfolgen.- Nullfolgen.- Elementare Rechenregeln.- Vergleichssatze.- Folgen komplexer Zahlen.- 3 Normierte Vektorräume.- Normen.- Bälle.- Beschränkte Mengen.- Beispiele.- Räume beschränkter Abbildungen.- Innenprodukträume.- Die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung.- Euklidische Raume.- Äquivalente Normen.- Konvergenz in Produkträumen.- 4 Monotone Folgen.- Beschränkte monotone Folgen.- Einige wichtige Grenzwerte.- 5 Uneigentliche Konvergenz.- Die Konvergenz gegen ±?.- Limes superior und Limes inferior.- Der Satz von Bolzano-Weierstraß.- 6 Vollständigkeit.- Cauchyfolgen.- Banachräume.- Die Cantorsche Konstruktion der reellen Zahlen.- 7 Reihen.- Konvergenz von Reihen.- Die harmonische und die geometrische Reihe.- Rechenregeln.- Konvergenzkriterien.- Alternierende Reihen.- g-al-Entwicklungen.- Die Überabzählbarkeit von ?.- 8 Absolute Konvergenz.- Majoranten-, Wurzel- und Quotientenkriterium.- Die Exponentialfunktion.- Umordnungen von Reihen.- Doppelreihen.- Cauchyprodukte.- 9 Potenzreihen.- Der Konvergenzradius.- Rechenregeln.- Der Identitätssatz für Potenzreihen.- III Stetige Funktionen.- 1 Stetigkeit.- Elementare Eigenschaften und Beispiele.- Folgenstetigkeit.- Rechenregeln.- Einseitige Stetigkeit.- 2 Topogische Grundbegriffe.- Offene Mengen.- Abgeschlossene Mengen.- Die abgeschlossene Hülle.- Der offene Kern.- Der Rand einer Menge.- Die Hausdorffeigenschaft.- Beispiele.- Eine Charakterisierung stetiger Abbildungen.- Stetige Ergänzungen.- Relativtopologien.- Allgemeine topologische Räume.- 3 Kompaktheit.- Die Überdeckungseigenschaft.- Eine Charakterisierung kompakter Mengen.- Folgenkompaktheit.- Stetige Abbildungen auf kompakten Räumen.- Der Satz vom Minimum und Maximum.- Totalbeschränktheit.- Gleichmä?ige Stetigkeit.- Kompaktheit in allgemeinen topologischen Räumen.- 4 Zusammenhang.- Charakterisierung des Zusammenhanges.- Zusammenhang in ?.- Der allgemeine Zwischenwertsatz.- Wegzusammenhang.- Zusammenhang in allgemeinen topologischen Räumen.- 5 Funktionen in ?.- Der Zwischenwertsatz von Bolzano.- Monotone Funktionen.- Stetige monotone Funktionen.- 6 Die Exponentialfunktion und Verwandte.- Die Eulersche Formel.- Die reelle Exponentialfunktion.- Der Logarithmus und die allgemeine Potenz.- Die Exponentialfunktion auf i ?.- Die Definition von ? und Folgerungen.- Tangens und Cotangens.- Das Abbildungsverhalten der Exponentialfunktion.- Ebene Polarkoordinaten.- Der komplexe Logarithmus.- Komplexe Potenzen.- Eine weitere Darstellung der Exponentialfunktion.- IV Differentialrechnung in einer Variablen.- 1 Differenzierbarkeit.- Die Definition.- Lineare Approximierbarkeit.- Rechenregeln.- Kettenregel.- Umkehrfunktionen.- Differenzierbare Abbildungen.- Höhere Ableitungen.- Einseitige Differenzierbarkeit.- 2 Mittelwertsätze und ihre Anwendungen.- Extremalstellen.- Der erste Mittelwertsatz.- Monotonie und Differenzierbarkeit.- Konvexität und Differenzierbarkeit.- Die Ungleichungen von Young, Hölder und Minkowski.- Der Mittelwertsatz für vektorwertige Funktionen.- Der zweite Mittelwertsatz.- Die Regeln von de l'Hospital.- 3 Taylorsche Formeln.- Landausche Symbole.- Die Taylorsche Formel.- Taylorpolynome, Taylorreihe und Restglied.- Restglieddarstellungen im reellen Fall und Anwendungen.- Polynomiale Interpolation.- Differenzenquotienten höherer Ordnung.- 4 Iterationsverfahren.- Fixpunkte und Kontraktionen.- Der Banachsche Fixpunktsatz.- Das Newtonverfahren.- V Funktionenfolgen.- 1 Gleichmäßige Konvergenz.- Punktweise konvergente Folgen.- Gleichmäßig konvergente Folgen.- Funktionenreihen.- Das Weierstra?sche Majorantenkriterium.- 2 Stetigkeit und Differenzierbarkeit bei Funktionenfolgen.- Stetigkeit.- Lokal gleichmäßige Konvergenz.- Der Banachraum der beschränkten und stetigen Funktionen.- Differenzierbarkeit bei Funktionenfolgen.- 3 Analytische Funktionen.- Differenzierbarkeit von Potenzreihen.- Analytizität.- Stammfunktionen analytischer Funktionen.- Die Potenzreihenentwicklung des Logarithmus.- Die Binomialreihe.- Der Identitätssatz für analytische Funktionen.- 4 Polynomiale Approximation.- Banachalgebren.- Dichtheit und Separabilität.- Der Satz von Stone und Weierstraß.- Trigonometrische Polynome.- Periodische Funktionen.- Der trigonometrische Approximationssatz.