Das Geheimnis der transzendenten Zahlen

Eine etwas andere Einführung in die Mathematik
 
 
Spektrum-Akademischer Vlg (Verlag)
1. Auflage | erschienen am 1. Dezember 2009 | 434 Seiten
 
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978-3-8274-2275-0 (ISBN)
 


Dr. Fridtjof Toenniessen promovierte in München über komplexe Analysis und algebraische Geometrie. Er ist Professor für Mathematik und Informatik an der Hochschule der Medien in Stuttgart.

Deutsch
Heidelberg
2,63 MB
978-3-8274-2275-0 (9783827422750)
3827422752 (3827422752)
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Dr. Fridtjof Toenniessen promovierte in München über komplexe Analysis und algebraische Geometrie. Er ist Professor für Mathematik und Informatik an der Hochschule der Medien in Stuttgart.

  • Geleitwort
  • Vorwort
  • Inhaltsverzeichnis
  • 1 Vorgeschichte
  • Die Anfänge der Mathematik als Wissenschaft
  • Geometrische Konstruktionen in der Antike
  • 2 Die natürlichen Zahlen
  • Die vollständige Induktion
  • Primzahlen
  • Das Pascalsche Dreieck
  • Zahlenfolgen
  • 3 Elemente und Mengen
  • Allgemeine Begriffe
  • Die Russellsche Antinomie
  • Grundlegende Mengenoperationen
  • Das Produkt von Mengen
  • Relationen
  • 4 Die ganzen Zahlen
  • Die Konstruktion der ganzen Zahlen
  • Beweise für die Primzahlvermutungen
  • Die Anordnung von
  • auf dem Zahlenstrahl
  • Die Abzählbarkeit unendlicher Mengen
  • Die algebraische Struktur von
  • 5 Die rationalen Zahlen
  • Die Konstruktion der rationalen Zahlen
  • Der absolute Betrag und die Division in
  • Der binomische Lehrsatz
  • Die Folge der Fibonacci-Brüche
  • Die Dezimaldarstellung rationaler Zahlen, Teil I
  • Folgen, Reihen, Konvergenz und Grenzwerte
  • Die Dezimaldarstellung rationaler Zahlen, Teil II
  • 6 Die reellen Zahlen
  • Die Konstruktion der reellen Zahlen
  • Die Vollständigkeit der reellen Zahlen
  • Sind die reellen Zahlen abzählbar?
  • Potenzen mit rationalen Exponenten
  • Das Geheimnis der Fibonacci-Bruch-Folge
  • Algebraische Zahlen in
  • Ein Beweis für die Existenz transzendenter Zahlen
  • 7 Die komplexen Zahlen
  • Die Konstruktion der komplexen Zahlen
  • Irreduzible Polynome und maximale Ideale
  • Die imaginäre Einheit
  • Die komplexe Zahlenebene
  • Glückwunsch! Das Zahlensystem ist komplett.
  • 8 Elemente der linearen Algebra
  • Vektorräume
  • Lineare Unabhängigkeit, Basis und Dimension
  • Die Dimension algebraischer Erweiterungen von
  • Eine mysteriöse Frage
  • Basen und Dreiecksmatrizen
  • Der Hauptsatz über elementarsymmetrische Polynome
  • 9 Funktionen und Stetigkeit
  • Funktionen
  • Die Stetigkeit von Funktionen
  • Die Exponentialreihe
  • Potenzen mit reellen Exponenten
  • Der natürliche Logarithmus
  • Das Wachstumsverhalten von exp und ln
  • Einige Anwendungen von exp und ln
  • 10 Elemente der klassischen Algebra
  • Die Irreduzibilität von Polynomen
  • Der Fundamentalsatz der Algebra
  • Nachbetrachtungen zum Beweis
  • Anwendungen des Fundamentalsatzes
  • 11 Die ersten transzendenten Zahlen
  • Diophantische Approximationen
  • Das Ergebnis von Liouville
  • Die erste transzendente Zahl
  • Kettenbrüche
  • Kettenbrüche und transzendente Zahlen
  • Abschließende Bemerkungen
  • 12 Die Exponentialfunktion im Komplexen
  • Komplexwertige Funktionen
  • Wo liegen die Punkte ez für
  • Die Kreiszahl
  • Trigonometrische Funktionen
  • Polarkoordinaten
  • 13 Konstruktionen mit Zirkel und Lineal
  • Elementare Konstruktionsschritte nach Euklid
  • Intermezzo: Körpererweiterungen von
  • Ein Kriterium für die Konstruierbarkeit eines Punktes in
  • Die Konstruktion regelmäßiger
  • Ecke
  • Ausblick
  • 14 Differenzialrechnung
  • Historische Entwicklung
  • Differenzierbarkeit
  • Der Mittelwertsatz der Differenzialrechnung
  • Höhere Ableitungen
  • 15 Integralrechnung
  • Eine sensationelle Entdeckung
  • Integration und Differenziation
  • Das Basler Problem und seine Lösung durch Fourier-Reihen
  • Kurvenintegrale in
  • Uneigentliche Integrale
  • 16 Erste Erkenntnisse über e und
  • Das Wallissche Produkt
  • Die Stirlingsche Formel
  • Die Irrationalität von e und
  • 17 Elemente der Analysis im 18. Jahrhundert
  • Partielle Ableitungen
  • Das Kurvenintegral über ein totales Differenzial
  • Integration Pfaffscher Differenzialformen
  • 18 Elemente der Funktionentheorie
  • Eine Idee von historischer Dimension
  • Komplexe Pfaffsche Differenzialformen
  • Der Integralsatz von Cauchy
  • Integrale über homotope Kurven
  • Die Integralformel von Cauchy
  • Folgerungen aus der Cauchyschen Integralformel
  • 19 Die Transzendenz von e und
  • Interpolation von Funktionen nach Newton
  • Die Ideen von Hermite und Lindemann
  • Ein neuer Beweis der Irrationalität von e und
  • Nachbetrachtung zum Beweis
  • Die Transzendenz von e und
  • Nachbetrachtung zum Beweis
  • 20 Weitere Ergebnisse zu transzendenten Zahlen
  • Der Satz von Lindemann-Weierstraß
  • Das siebte Hilbertsche Problem
  • Die Arbeiten von Baker zu Linearformen in Logarithmen
  • Der Satz von Thue-Siegel-Roth
  • Weitere Resultate und offene Fragen
  • 1974, das Jahr einer "sensationellen Entdeckung"
  • Literaturhinweise
  • Index

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