Mathematik für Naturwissenschaftler für Dummies

 
 
Wiley-VCH (Verlag)
  • 2. Auflage
  • |
  • erschienen am 23. August 2016
  • |
  • 494 Seiten
 
E-Book | ePUB mit Adobe-DRM | Systemvoraussetzungen
978-3-527-80360-6 (ISBN)
 
Alle Naturwissenschaftler benötigen sie, kaum einer mag sie: die Mathematik. Aber Mathematik muss nicht dröge und schwer verständlich sein, manchmal kann sie sogar ein bisschen Spaß machen. Thoralf Räsch vermittelt Ihnen die Grundlagen, die alle Naturwissenschaftler benötigen: Algebra, Analysis, Differentiation, Integration, Lineare Algebra, Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung. Anhand vieler Tipps und Praxisbeispiele lernen Sie, wie die erworbenen Kenntnisse in den Naturwissenschaften angewendet werden. Dieses Buch richtet sich an Studierende aller Naturwissenschaften - sowohl zum Lernen als auch zum Nachschlagen.
2. aktualisierte Auflage
  • Deutsch
  • Weinheim
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  • Deutschland
  • 12,84 MB
978-3-527-80360-6 (9783527803606)
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Dr. Thoralf Räsch ist Akademischer Rat am Mathematischen Institut der Universität Bonn und unterrichtet Mathematik in den naturwissenschaftlichen Bachelorstudiengängen. Darüber hinaus versucht er in verschiedenen Projekten in Berlin und Bonn, interessierte Schüler von der Faszination der Mathematik zu überzeugen. Thoralf Räsch studierte an der Humboldt-Universität zu Berlin und promovierte am Institut für Mathematik an der Universität Potsdam.
  • Intro
  • Schummelseite
  • Titel
  • Impressum
  • Über den Autor
  • Inhaltsverzeichnis
  • Einleitung
  • Teil I: Algebraische und analytische Grundlagen
  • Kapitel 1: Die Krabbelkiste der Mathematik
  • Logische Grundlagen
  • Zahlen und Fakten
  • Bruchrechnung überleben
  • Potenzen und Wurzeln
  • Einfache (Un-)Gleichungen und Beträge auflösen
  • Kapitel 2: Mengen, Induktionen, Prozente und Zinsen
  • Alles über Mengen
  • Vollständige Induktion bezwingt die Unendlichkeit
  • Prozentrechnung für den Alltag
  • Zinsrechnung zum Verstehen
  • Kapitalwachstum: Zinseszins
  • Kapitel 3: Elementare Funktionen, Grenzwerte und Stetigkeit
  • Grundlegendes zu Funktionen
  • Grundlegende Funktionen
  • Bis an die Grenzen gehen
  • Grenzwerte und Stetigkeit verknüpfen
  • Einfache Grenzwerte auswerten
  • Echte Aufgabenstellungen mit Grenzwerten
  • Machen Sie eine Pause - mit einem Grenzwert-Sandwich
  • Grenzwerte bei unendlich auswerten
  • Teil II: Differentiation - die Kunst des Ableitens
  • Kapitel 4: Idee und Regeln des Ableitens - was sein muss, muss sein
  • Erste Schritte des Ableitens
  • Grundlegende Regeln der Differentiation
  • Differentiationsregeln für Profis - Wir sind die Champs!
  • Implizite Differentiation
  • Logarithmische Differentiation
  • Differentiation von Umkehrfunktionen
  • Keine Angst vor höheren Ableitungen
  • Kapitel 5: Extrem-, Wende- und Sattelpunkte
  • Ein Ausflug mit der Analysisgruppe
  • Lokale Extremwerte finden
  • Globale Extremwerte für ein abgeschlossenes Intervall finden
  • Die globalen Extremwerte über den gesamten Definitionsbereich einer Funktion finden
  • Konvexität und Wendepunkte bestimmen
  • Der Zwischenwertsatz - Es geht nichts verloren
  • Der Mittelwertsatz - Es bleibt Ihnen nicht(s) erspart!
  • Das nützliche Taylerpolynom
  • Die Regel von l'Hospital
  • Kapitel 6: Von Folgen und Reihen
  • Folgen und Reihen: Worum es eigentlich geht
  • Konvergenz oder Divergenz? Das ist hier die Frage!
  • Alternierende Reihen
  • Ableitungen und Integrale für Grenzprozesse nutzen
  • Teil III: Integration - Eine Kunst für sich
  • Kapitel 7: Integration: Die Rückwärts-Differentiation
  • Flächenberechnung - eine Einführung
  • Stammfunktionen suchen - rückwärts Ableiten
  • Das Vokabular: Welchen Unterschied macht es?
  • Die müßige Flächenfunktion
  • Ruhm und Ehre mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
  • Stammfunktionen finden - Drei grundlegende Techniken
  • Flächen mithilfe von Substitutionsaufgaben bestimmen
  • Kapitel 8: Integration: Praktische Tricks für Profis
  • Partielle Integration: Teile und herrsche!
  • Integrale mit Sinus und Kosinus
  • Das ABC der Partialbrüche
  • Grau ist alle Theorie - Praktische Integrale!
  • Teil IV: Lineare Algebra
  • Kapitel 9: Grundlagen der Vektorräume
  • Vektoren erleben
  • Punkte, Geraden und Ebenen im dreidimensionalen Raum
  • Kapitel 10: Lineare Gleichungssysteme und Matrizen
  • Arten von linearen Gleichungssystemen
  • Grafische Lösungsansätze für lineare Gleichungssysteme
  • Was sind eigentlich Matrizen?
  • Matrizen und lineare Gleichungssysteme
  • Matrizen und lineare Abbildungen
  • Kapitel 11: Matrizen - Das Finale!
  • Matrizen und ihre Determinanten
  • Basistransformation
  • Eigenwerte und Eigenvektoren
  • Matrizen diagonalisieren
  • Drehungen und Spiegelungen
  • Kapitel 12: Nicht reell, aber real: Komplexe Zahlen
  • Teil V: Grundlagen der Statistik und der Wahrscheinlichkeitsrechnung
  • Kapitel 13: Das Handwerkszeug des Statistikers
  • Die Grundgesamtheit
  • Die Stichprobe
  • Die Zufallsstichprobe
  • Daten
  • Statistik
  • Das arithmetische Mittel - der Mittelwert
  • Der Median
  • Die Standardabweichung
  • Perzentil vs. Quantil
  • Der Standardwert
  • Die Normalverteilung
  • Schätzwerte
  • Der Zentrale Grenzwertsatz
  • Das Gesetz der großen Zahlen
  • Das Konfidenzintervall
  • Korrelation und Kausalzusammenhang
  • Kapitel 14: Von Mittelwerten, Quantilen und vertrauenswürdigen Zusammenhängen
  • Daten mit statistischen Größen beschreiben
  • Qualitative Daten beschreiben
  • Quantitative Daten beschreiben
  • Die Suche nach dem Zusammenhang: Korrelationen und ihre Koeffizienten
  • Kapitel 15: Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung
  • Arten der Wahrscheinlichkeit
  • Wahrscheinlichkeitsregeln verstehen und anwenden
  • Unabhängigkeit mehrerer Ereignisse
  • Einander ausschließende Ereignisse berücksichtigen
  • Unabhängige und einander ausschließende Ereignisse unterscheiden
  • Nützliche Zählregeln und Kombinatorik
  • Teil VI: Fortgeschrittene Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung
  • Kapitel 16: Wahrscheinlichkeiten darstellen: Venn-Diagramme und der Satz von Bayes
  • Wahrscheinlichkeiten mit Venn-Diagrammen darstellen
  • Wahrscheinlichkeiten mit Baumdiagrammen darstellen
  • Das Gesetz der totalen Wahrscheinlichkeit und der Satz von Bayes
  • Kapitel 17: Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsverteilungen
  • Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer diskreten Zufallsvariablen
  • Die Verteilungsfunktion ermitteln und anwenden
  • Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung einer diskreten Zufallsvariablen
  • Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung einer stetigen Zufallsvariablen
  • Kapitel 18: Die wunderbare Welt der Wahrscheinlichkeitsverteilungen
  • Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen
  • Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen
  • Teil VII: Der Top-Ten-Teil
  • Kapitel 19: Zehn häufig gemachte Fehler im (Stochastik-) Alltag
  • Vergessen, dass eine Wahrscheinlichkeit zwischen 0 und 1 liegen muss
  • Kleine Wahrscheinlichkeiten fehlinterpretieren
  • Wahrscheinlichkeiten für kurzfristige Vorhersagen verwenden
  • Nicht glauben, dass 10-22-34-42-47-48 gewinnen kann
  • An Glücksträhnen beim Würfeln glauben
  • Jeder Situation eine 50-50-Chance einräumen
  • Bedingte Wahrscheinlichkeiten verwechseln
  • Die falsche Wahrscheinlichkeitsverteilung anwenden
  • Die Voraussetzungen für ein Wahrscheinlichkeitsmodell nicht richtig prüfen
  • Unabhängigkeit von Ereignissen annehmen
  • Kapitel 20: Zehn Ratschläge für einen erfolgreichen Abschluss Ihres Mathekurses
  • Der Kurs beginnt pünktlich in der ersten Vorlesung
  • Besuchen Sie die Vorlesungen und Übungen
  • Verschaffen Sie sich ordentliche Mitschriften
  • Schauen Sie auch in die Bücher
  • Lösen Sie die wöchentlichen Übungsaufgaben
  • Gruppenarbeit nicht ausnutzen
  • Lernen Sie nicht nur für die Klausur
  • Klausurvorbereitung beginnt nicht einen Tag vorher
  • Aus Fehlern lernen
  • Der eigene Kurs ist immer der wichtigste!
  • Tabellen geliebter Verteilungsfunktionen
  • Tabelle für die Binomialverteilung
  • Tabelle für die Normalverteilung
  • Tabelle für die Poissonverteilung
  • Stichwortverzeichnis

Kapitel 1

Die Krabbelkiste der Mathematik


In diesem Kapitel

Ich habe lange überlegt, was ich in diese Krabbelkiste hineinlege. Es gibt viele mathematische Voraussetzungen, die so grundlegend sind, dass Sie jeder von Ihnen wissen sollte. Ich müsste Ihnen eigentlich nichts mehr über Bruchrechnung erzählen, aber ich möchte, dass Sie sicher im Umgang mit Brüchen sind. Prozentrechnung ist Bestandteil des täglichen Lebens - eine kurze Wiederholung schadet nicht. Gleichungen und Ungleichungen spielen in der Mathematik (und auch in den späteren Kapiteln) eine große Rolle. Ich setze diese Dinge ab Kapitel 2 voraus, lesen Sie bitte nicht darüber hinweg. Nehmen Sie sich Zeit für dieses erste Kapitel.

Logische Grundlagen


Die Mathematische Logik ist ein Grundbestandteil der Mathematik. Wenn Sie einen Mathematiker sprechen hören, dann definiert er Begriffe, die er dann im Weiteren verwendet, insbesondere auch in mathematischen Aussagen, die er behauptet und beweist.

Wahre und falsche Aussagen


Eine solche Aussage kann sich hinreichend kompliziert gestalten und dieses Buch wimmelt von Aussagen, durch die ich Sie schrittweise führen werde. Die Aussagen, die ich hier in diesem Buch behaupte, so behaupte ich jetzt hier, sind alle wahr, also nicht falsch. Und hier erkennen Sie eine der wesentlichen Eigenschaften von mathematischen Aussagen: Man kann ihnen einen sogenannten Wahrheitswert zuordnen, nämlich entweder »wahr« oder »falsch«. So ist die Aussage Sonntag ist ein Wochentag eine wahre Aussage.

Manchmal jedoch hängt dieser Wahrheitswert vom jeweiligen Auge des Betrachters ab. So ist die Aussage Sonntags arbeite ich nicht für die meisten Arbeitnehmer wahr, aber dennoch bin ich froh, dass der Bäcker meines Vertrauens mich jeden Sonntag mit frischen Brötchen versorgt. Für diese Angestellten ist die obige Aussage nicht immer wahr.

In der Mathematik werden Sie häufig sehen, dass viele Objekte mit Buchstaben, so genannten Variablen, abgekürzt werden. Dabei verwendet man fast alle Buchstaben, die man so finden kann - große und kleine, dabei jeweils lateinische (a, b, c, .) und griechische (a,?ß,??,?.), selbst vor kyrillischen Buchstaben (?, ?, ?, .) scheut man sich heute nicht mehr.

Aussagen verknüpfen


Im Folgenden verwende ich lateinische Großbuchstaben für Aussagen: A, B usw. Es gibt einfache Verknüpfungen zwischen Aussagen, die Sie immer wieder benötigen werden.

Bezeichnung

Symbole

Sprechweise

Negation

¬A

Nicht A

Konjunktion

A ? B

A und B

Disjunktion

A ? B

A oder B

Implikation

A  B

aus A folgt B

Äquivalenz

A  B

A genau dann, wenn B

Tabelle 1.1: Die aussagenlogischen Verknüpfungen

Einige Beispiele: Die Aussage 1 = 2 bezeichnen wir jetzt mit A. Damit ist A eine wahre Aussage. Die Negation ¬A ist also die Aussage 1 > 2 und somit offenbar falsch. Zusammen mit den Aussagen B beziehungsweise C gegeben durch 1·1 = 2 beziehungsweise 1 + 1 = 2 ist die Aussage A ? B, also 1 = 2 ? 1 · 1 = 2, falsch, da B eine falsche Aussage ist, aber A ? C, also 1 = 2 ? 1 + 1 = 2, wahr, da sowohl A als auch C wahr sind. Weiterhin sind die Aussagen A ? B und A ? C, also 1 = 2 ? 1 · 1 = 2 und 1 = 2???? 1 + 1 = 2 beide wahr, denn mindestens ein Bestandteil ist wahr.

Jetzt bitte aufpassen! Die Implikation A  C und B  A, also 1 = 2  1 + 1 = 2 und 1 · 1 = 2  1 = 2, sind wahr, aber die Aussage A  B, also 1 = 2  1 · 1 = 2, ist falsch! Dagegen ist die Aussage A  C und auch A  ¬B wahr, also 1 = 2  1 + 1 = 2 und 1 = 2??????1 · 1 ? 2.

Insbesondere sehen Sie, dass die beiden Bedingungen links und rechts von einem (Doppel-) Pfeil nicht unbedingt etwas miteinander zu tun haben müssen.

Ein Beispiel: Wenn Sie sich in den reellen Zahlen bewegen, dann ist die Aussage x2 = 4 äquivalent zu der Aussage x = - 2???? x = 2. Wenn Sie allerdings nur die natürlichen Zahlen betrachten, dann gibt es dort keine negativen Zahlen. Dann gilt sogar , das heißt, Sie müssen immer genau wissen, über welche Zahlbereiche Ihre Variablen laufen.

Quantoren in den Griff bekommen


Wenn Sie tiefer in die Mathematik einsteigen, kommen Sie an bestimmten Schreibweisen nicht vorbei. So werden häufig die sogenannten Quantoren ? und ? verwendet. Hierbei bedeutet das auf dem Kopf stehende »A« die Wortgruppe »für alle« und das gespiegelte »E« die Wortgruppe »es existiert«.

Ein Beispiel: Die Aussage über den reellen Zahlen besagt, dass das Quadrat einer beliebigen reellen Zahl nicht negativ ist. Dagegen besagt die Aussage ? x ? y(x + y = 0), dass es zu jedem x ein y gibt, so dass die Summe beider Variablen x + y gerade 0 ist.

So ist es ein Unterschied, ob es zu jedem x ein y gibt oder ob es ein einziges y gibt, so dass für alle x eine Aussage gilt.

Ein Beispiel: Betrachten Sie die Aussage ? x ? y(x < y) und ? x ? y(x < y) über den reellen Zahlen. Die erste Aussage besagt, dass es zu jeder Zahl eine größere gibt - das ist sicherlich wahr. Die zweite dagegen behauptet, dass es eine Zahl gibt, so dass alle Zahlen größer sind als die vorgegebene - das ist mit Sicherheit falsch!

Zahlen und Fakten


Es gibt viele Gesetze, die ich nennen könnte, aber dies soll keine Formelsammlung werden. Stattdessen möchte ich vor allem auf die Schummelseiten vorn in diesem Buch verweisen, die wesentliche Fakten, Regeln und Gesetze enthalten. Ein paar Dinge bleiben aber noch zu erwähnen.

Die Zahlbereiche im Visier


Wenn Sie in der Grundschule rechnen gelernt haben, dann haben Sie angefangen, die Zahlen aufzuzählen als: 1, 2, 3, 4, . Nie konnten Sie ahnen, dass da noch etwas hinzukommen würde. Diese Zahlen werden natürliche Zahlen genannt und mit dem SymbolNabgekürzt. Ehrlich gesagt zähle ich die 0 noch dazu, aber Sie finden genauso viele Bücher, in denen 0 eine natürliche Zahl ist, wie andere, in denen sie es nicht ist. Das ist mathematische Kosmetik. Unabhängig davon können Sie in den natürlichen Zahlen addieren und multiplizieren, aber nur eingeschränkt subtrahieren und fast gar nicht dividieren.

Wenn Sie die natürlichen Zahlen alle noch einmal kopieren, an der 0 spiegeln und vor jede dieser Kopien ein Minuszeichen schreiben, dann erhalten Sie die ganzen Zahlen, nämlich: ., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, .. Diese kürzen Sie mit Zab. Im Unterschied zu den natürlichen Zahlen gibt es hier keine kleinste Zahl. Dafür können Sie weiterhin addieren, multiplizieren und sogar subtrahieren - nur dividieren ist immer noch kaum möglich.

Die rationalen Zahlen haben die Gestalt ,...

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