The Hodge-Laplacian

Boundary Value Problems on Riemannian Manifolds
 
 
De Gruyter (Verlag)
  • 1. Auflage
  • |
  • erschienen am 10. Oktober 2016
  • |
  • X, 518 Seiten
 
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978-3-11-048438-0 (ISBN)
 
The core of this monograph is the development of tools to derive well-posedness results in very general geometric settings for elliptic differential operators. A new generation of Calderón-Zygmund theory is developed for variable coefficient singular integral operators, which turns out to be particularly versatile in dealing with boundary value problems for the Hodge-Laplacian on uniformly rectifiable subdomains of Riemannian manifolds via boundary layer methods. In addition to absolute and relative boundary conditions for differential forms, this monograph treats the Hodge-Laplacian equipped with classical Dirichlet, Neumann, Transmission, Poincaré, and Robin boundary conditions in regular Semmes-Kenig-Toro domains.Lying at the intersection of partial differential equations, harmonic analysis, and differential geometry, this text is suitable for a wide range of PhD students, researchers, and professionals. Contents:PrefaceIntroduction and Statement of Main ResultsGeometric Concepts and ToolsHarmonic Layer Potentials Associated with the Hodge-de Rham Formalism on UR DomainsHarmonic Layer Potentials Associated with the Levi-Civita Connection on UR DomainsDirichlet and Neumann Boundary Value Problems for the Hodge-Laplacian on Regular SKT DomainsFatou Theorems and Integral Representations for the Hodge-Laplacian on Regular SKT DomainsSolvability of Boundary Problems for the Hodge-Laplacian in the Hodge-de Rham FormalismAdditional Results and ApplicationsFurther Tools from Differential Geometry, Harmonic Analysis, Geometric Measure Theory, Functional Analysis, Partial Differential Equations, and Clifford AnalysisBibliographyIndex
0179-0986
  • Englisch
  • Berlin/Boston
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  • Deutschland
  • Für Beruf und Forschung
  • |
  • US School Grade: College Graduate Student
  • 2,87 MB
978-3-11-048438-0 (9783110484380)
3110484382 (3110484382)
http://www.degruyter.com/isbn/9783110484380
weitere Ausgaben werden ermittelt
D. Mitrea and M. Mitrea, Univ. of Missouri, USA;I. Mitrea, Temple Univ., Philadelphia, USA;M. Taylor, Univ. of North Carolina, USA.
  • Intro
  • Preface
  • Contents
  • 1 Introduction and Statement of Main Results
  • 1.1 First Main Result: Absolute and Relative Boundary Conditions
  • 1.2 Other Problems Involving Tangential and Normal Components of Harmonic Forms
  • 1.3 Boundary Value Problems for Hodge-Dirac Operators
  • 1.4 Dirichlet, Neumann, Transmission, Poincaré, and Robin-Type Boundary Problems
  • 1.5 Structure of the Monograph
  • 2 Geometric Concepts and Tools
  • 2.1 Differential Geometric Preliminaries
  • 2.2 Elements of Geometric Measure Theory
  • 2.3 Sharp Integration by Parts Formulas for Differential Forms in Ahlfors Regular Domains
  • 2.4 Tangential and Normal Differential Forms on Ahlfors Regular Sets
  • 3 Harmonic Layer Potentials Associated with the Hodge-de Rham Formalism on UR Domains
  • 3.1 A Fundamental Solution for the Hodge-Laplacian
  • 3.2 Layer Potentials for the Hodge-Laplacian in the Hodge-de Rham Formalism
  • 3.3 Fredholm Theory for Layer Potentials in the Hodge-de Rham Formalism
  • 4 Harmonic Layer Potentials Associated with the Levi-Civita Connection on UR Domains
  • 4.1 The Definition and Mapping Properties of the Double Layer
  • 4.2 The Double Layer on UR Subdomains of Smooth Manifolds
  • 4.3 Compactness of the Double Layer on Regular SKT Domains
  • 5 Dirichlet and Neumann Boundary Value Problems for the Hodge-Laplacian on Regular SKT Domains
  • 5.1 Functional Analytic Properties for Harmonic Layer Potentials in UR Domains
  • 5.2 Invertibility Results for Layer Potentials Associated with the Levi-Civita Connection
  • 5.3 Solving the Dirichlet, Neumann, Transmission, Poincaré, and Robin Boundary Value Problems
  • 6 Fatou Theorems and Integral Representations for the Hodge-Laplacian on Regular SKT Domains
  • 6.1 Convergence of Families of Singular Integral Operators
  • 6.2 A Fatou Theorem for the Hodge-Laplacian in Regular SKT Domains
  • 6.3 Spaces of Harmonic Fields and Green Type Formulas
  • 7 Solvability of Boundary Problems for the Hodge-Laplacian in the Hodge-de Rham Formalism
  • 7.1 Preparatory Results
  • 7.2 Solvability Results
  • 8 Additional Results and Applications
  • 8.1 de Rham Cohomology on Regular SKT Surfaces
  • 8.2 Maxwell's Equations in Regular SKT Domains
  • 8.3 Dirichlet-to-Neumann Operators for the Hodge-Laplacian in Regular SKT Domains
  • 8.4 Fatou Type Results with Additional Constraints or Regularity Conditions
  • 8.5 Weak Tangential and Normal Traces in Regular SKT Domains with Friedrichs Property
  • 8.6 The Hodge-Poisson Kernel and the Hodge-Harmonic Measure
  • 9 Further Tools from Differential Geometry, Harmonic Analysis, Geometric Measure Theory, Functional Analysis, Partial Differential Equations, and Clifford Analysis
  • 9.1 Connections and Covariant Derivatives on Vector Bundles
  • 9.2 The Extension of the Levi-Civita Connection to Differential Forms
  • 9.3 The Bochner-Laplacian and Weintzenböck's Formula
  • 9.4 Sobolev Spaces on Boundaries of Ahlfors Regular Domains: The Euclidean Setting
  • 9.5 Sobolev Spaces on Boundaries of Ahlfors Regular Domains: The Manifold Setting
  • 9.6 Integrating by Parts on the Boundaries of Ahlfors Regular Domains
  • 9.7 A Global Sobolev Regularity Result
  • 9.8 The PV Harmonic Double Layer on a UR Domain
  • 9.9 Calderón-Zygmund Theory on UR Domains on Manifolds
  • 9.10 The Fredholmness and Invertibility of Elliptic Differential Operators
  • 9.11 Compact and Close-to-Compact Singular Integral Operators
  • 9.12 A Sharp Divergence Theorem
  • 9.13 Clifford Analysis Rudiments
  • 9.14 Spectral Theory for Unbounded Linear Operators Subject to Cancellations
  • Bibliography
  • Index

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