Wirtschaftsmathematik für Dummies

 
 
Wiley-VCH (Verlag)
  • 2. Auflage
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  • erschienen am 23. August 2016
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  • 489 Seiten
 
E-Book | ePUB mit Adobe-DRM | Systemvoraussetzungen
978-3-527-80097-1 (ISBN)
 
Mathematik ist für viele angehende Wirtschaftswissenschaftler ein notwendiges Übel, dabei ist es gar nicht so schwer, wie Sie vielleicht denken. In "Wirtschaftsmathematik für Dummies" vermitteln Ihnen die Autoren genau die Mathematikkenntnisse, die für Sie als Wirtschaftswissenschaftler relevant sind. Ob Gleichungen, Differentiation und Integration, Matrizen oder Zins- und Rentenrechnung - werden Sie zum Experten! Dank Beispielen und Schritt-für-Schritt-Erklärungen lernen Sie außerdem, wie Sie Ihre Kenntnisse in der Praxis anwenden. So kann die nächste Prüfung kommen!
2. aktualisierte Auflage
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978-3-527-80097-1 (9783527800971)
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Dr. Christoph Mayer promovierte an der Universität Mannheim in BWL und lehrte dort Lineare Algebra sowie Finanzmathematik. Derzeit arbeitet er bei der EnBW AG und hat einen Lehrauftrag an der FH Ludwigshafen.
Sören Jensen studierte BWL und promovierte an der Universität Mannheim. Während seines Studiums arbeitete er als Tutor für Lineare Algebra und Finanzmathematik und hält noch heute Vorlesungen und Übungen. Mittlerweile arbeitet er bei einer großen Versicherung.
Suleika Bort ist Diplom-Kauffrau und promovierte an der Universität Mannheim. Sie ist in der Lehre im Fach Management tätig und habilitiert an der Universität Mannheim.
  • Intro
  • Schummelseite
  • Titel
  • Impressum
  • Über den Autor
  • Inhaltsverzeichnis
  • Einleitung
  • Teil I: Auf die Plätze . Einfache Algebra
  • Kapitel 1: Am Anfang stand die Algebra
  • Mit Vorzeichen rechnen
  • Algebraische Eigenschaften - eine Skizze
  • Was Sie über Brüche wissen sollten
  • Prozent berechnen
  • Potenzen machen stark
  • Zu den Wurzeln der Wurzeln
  • Logarithmen . wirklich keine Hexerei
  • Mehr als einen Term ausmultiplizieren
  • Kapitel 2: Gleichungen lösen
  • Ausgeglichene Gleichungen
  • Lineare Gleichungen lösen
  • Quadratische Gleichungen lösen
  • Bleiben Sie bei Gleichungen mit Brüchen rational!
  • Machen Sie sich frei von Wurzeln!
  • Exponentialgleichungen lösen
  • Logarithmische Gleichungen lösen
  • Teil II: Analysis
  • Kapitel 3: Ein Leben mit Listen: Folgen und Reihen
  • Arithmetische und geometrische Folgen
  • Rekursiv definierte Funktionen
  • Und jetzt zu den Reihen
  • Summen von Folgen in der Praxis
  • Besondere Formeln für Reihen
  • Kapitel 4: Fantastische Funktionen
  • Wie sieht eine Funktion aus?
  • Was es mit Definitions- und Wertebereich auf sich hat
  • Geradeheraus - Geraden in der Ebene
  • Die Steigung einer Funktion
  • Polynome
  • Vom Verstand geleitet: Rationale Funktionen
  • Exponentialfunktionen
  • Logarithmische Funktionen
  • Sinus, Kosinus und Tangens zeichnen
  • Zusammengesetzte Funktionen
  • Wachstumsfunktionen
  • Kapitel 5: Auch Funktionen haben Eigenschaften
  • Schnittpunkte mit den Achsen
  • Was ist der Grenzwert?
  • Grenzwerte und Stetigkeit verknüpfen
  • Grenzwerte, die Sie sich merken sollten
  • Grenzwerte bei unendlich auswerten
  • Kapitel 6: Die Differentialrechnung
  • Die Ableitung einer Funktion
  • Der Differenzquotient
  • Durchschnittliche Änderungsrate und unmittelbare Änderungsrate
  • Sein oder nicht sein? Drei Fälle, in denen die Ableitung nicht existiert
  • Grundlegende Regeln der Differentiation
  • Trigonometrische Funktionen differenzieren
  • Exponentialfunktionen differenzieren
  • Logarithmische Funktionen differenzieren
  • Differentiationsregeln für Profis - Wir sind die Champs!
  • Ableitungen höherer Ordnung skalieren
  • Ein Ausflug mit der Analysisgruppe
  • Lokale Extremwerte finden
  • Absolute Extremwerte für ein geschlossenes Intervall finden
  • Die absoluten Extremwerte über den gesamten Definitionsbereich einer Funktion finden
  • Krümmung und Wendepunkte bestimmen
  • Tangenten und Normale: Auf die Spitze getrieben
  • Aufgabenstellungen aus der Geschäftswelt und aus der Wirtschaft
  • Kapitel 7: Mehrdimensionale Funktionen
  • Funktionen mit mehreren Variablen
  • Zweidimensionale Funktionen darstellen
  • Partielle Differentiale
  • Ableitungen höherer Ordnung
  • Steigungen darstellen und berechnen
  • Totales Differential
  • Konvexität, Konkavität
  • Extrema bestimmen
  • Kapitel 8: Integration: Die Rückwärts-Differentiation
  • Stammfunktionen suchen - die umgekehrte Differentiation
  • Das Vokabular: Welchen Unterschied macht es?
  • Die müßige Flächenfunktion
  • Ruhm und Ehre mit dem Hauptsatz der Analysis
  • Der Hauptsatz der Analysis: Teil 2
  • Stammfunktionen finden: Vier grundlegende Techniken
  • Teil III: Ordnung schaffen in der Zahlenwelt - Mit Matrizen und Gleichungssystemen
  • Kapitel 9: Mit Matrizen durch die Mathe flitzen
  • Die verschiedenen Matrizentypen
  • Einfache Operationen mit Matrizen durchführen
  • Die innerbetriebliche Materialverflechtung
  • Elementare Zeilenumformungen definieren
  • Kapitel 10: Lineare Gleichungssysteme lösen
  • Die Standardform linearer Systeme und ihre möglichen Lösungen
  • Grafische Lösung von linearen Systemen
  • Systeme zweier linearer Gleichungen durch Addition eliminieren
  • Systeme mit zwei linearen Gleichungen durch Einsetzen lösen
  • Mit der Cramer'schen Regel unhandliche Brüche bekämpfen
  • Lineare Systeme auf drei lineare Gleichungen steigern
  • Wir steigern die Gleichungen noch weiter
  • Lineare Systeme in der Praxis
  • Mithilfe von Systemen Brüche zerlegen
  • Lineare Systeme über die Matrizenschreibweise lösen
  • Kapitel 11: Matrizen - noch mehr Möglichkeiten
  • Die Determinante bestimmen
  • Inverse Matrizen finden
  • Matrizen mithilfe von Inversen dividieren
  • Die erweiterten Matrizenfunktionen auf lineare Gleichungssysteme anwenden
  • Das Leontief-Modell kennenlernen
  • Teil IV: Wahrscheinlichkeitsrechnung
  • Kapitel 12: Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeit
  • Ein Überblick über die Mengennotation
  • Arten der Wahrscheinlichkeit
  • Wahrscheinlichkeitsregeln verstehen und anwenden
  • Unabhängigkeit mehrerer Ereignisse
  • Einander ausschließende Ereignisse berücksichtigen
  • Unabhängige und einander ausschließende Ereignisse unterscheiden
  • Kapitel 13: Wahrscheinlichkeit visualisieren: Venn-Diagramme, Baumdiagramme und das Bayes-Theorem
  • Wahrscheinlichkeiten mit Venn-Diagrammen visualisieren
  • Wahrscheinlichkeiten mit Baumdiagrammen darstellen
  • Das Gesetz der totalen Wahrscheinlichkeit und das Bayes-Theorem
  • Kapitel 14: Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen
  • Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer diskreten Zufallsvariablen
  • Die kumulative Verteilungsfunktion ermitteln und anwenden
  • Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung einer diskreten Zufallsvariablen
  • Kapitel 15: Die Normalverteilung
  • Die Grundlagen der Normalverteilung
  • Wahrscheinlichkeiten für eine Normalverteilung berechnen und anwenden
  • Aufgaben zur Normalverteilung mit Rückwärtsrechnung
  • Kapitel 16: Bestimmte Verteilungen
  • Diskrete Verteilungen
  • Stetige Verteilungen
  • Die kumulative Verteilungsfunktion der Exponentialverteilung
  • Kapitel 17: Der Zentrale Grenzwertsatz und das Gesetz der großen Zahlen
  • Der Zentrale Grenzwertsatz
  • Das Gesetz der großen Zahlen
  • Teil V: Finanzmathematik
  • Kapitel 18: Zinsrechnung
  • Die Zinsrechnung - aller guten Dinge sind drei
  • Verzinsungsmodelle
  • Aus Eins mach Vier: Eine Formel und vier Probleme
  • Den Barwert des Kapitals berechnen
  • Die unterjährige Verzinsung - kein Untergang
  • Effektiver und nomineller Zinssatz
  • Gemischte Verzinsung
  • Variable Verzinsung
  • Stetige Verzinsung
  • Kapitel 19: Rentenrechnung
  • Rentenzahlungen
  • Vor- und nachschüssige Rente
  • Aus Eins mach Vier (II): Eine Formel und vier Probleme
  • Nichtübereinstimmung von Zins- und Rentenperiode
  • Alle Dagobert Ducks aufgepasst! Kapitalaufbau und Kapitalverzehr
  • Wachsende Renten
  • Bis zum bitteren Ende: Ewige Renten
  • Kapitel 20: Tilgungsrechnung
  • Tilgungsrechnung - Die Zerlegung des Darlehens
  • Tilgungsarten
  • Ratentilgung
  • Annuitätentilgung
  • Die Länge des Darlehens
  • Kapitel 21: Kurs- und Renditenrechnung
  • Wertpapierhandel
  • Gestatten - Mein Name ist Bond Kurs und Rendite einer Anleihe
  • Kursermittlung
  • Renditeermittlung
  • Aktienhandel
  • Kapitel 22: Investitionsrechnung
  • Zahlungsströme bestimmen
  • Kapitalwertmethode
  • Interner Zinssatz
  • Amortisationsdauer
  • Teil VI: Der Top-Ten-Teil
  • Kapitel 23: Zehn Schritte beim Lösen von Textaufgaben
  • Ein Bild zeichnen
  • Eine Liste erstellen
  • Variablen für Zahlen wählen
  • Wörter in Zeichen übersetzen
  • Den letzten Satz beachten
  • Eine Formel finden
  • Mit Ersetzungen vereinfachen
  • Eine Gleichung lösen
  • Den Sinn prüfen
  • Die Genauigkeit kontrollieren
  • Kapitel 24: Zehn Dinge, mit denen Sie in der Prüfung nicht durchkommen
  • Geben Sie für eine Prüfungsfrage zwei Lösungen an
  • Schreiben Sie in Prüfungen unleserlich
  • Zeigen Sie Ihren Lösungsweg in der Prüfung nicht auf
  • Lösen Sie nicht alle Prüfungsaufgaben
  • Machen Sie Ihre Lerngruppe für Ihre schlechten Noten verantwortlich
  • Sagen Sie Ihrem Dozenten, dass Sie eine gute Note in Wirtschaftsmathematik brauchen, um Ihre Flamme zu beeindrucken
  • Beschweren Sie sich, dass Prüfungen am frühen Morgen nicht fair sind, weil Sie ein Morgenmuffel sind
  • Stellen Sie das gesamte Notensystem infrage
  • Lösen Sie während der Prüfung den Feueralarm aus
  • Verwenden Sie dieses Buch als Entschuldigung
  • Stichwortverzeichnis

Kapitel 1

Am Anfang stand die Algebra


In diesem Kapitel

Einmal ganz von vorn. Dieses Kapitel behandelt die Grundlagen der Algebra. All diese Ausdrücke und Aufgabenstellungen sind Ihnen in Ihrem Leben - oder auch nur im Mathematikunterricht - sicherlich über den Weg gelaufen. Haben Sie sich noch nie so richtig mit ihnen anfreunden können? Oder ist Ihre Freundschaft ein bisschen eingerostet? Kein Problem. Dieses Kapitel bietet Ihnen die wunderbare Möglichkeit, sich wieder kennenzulernen.

Mit Vorzeichen rechnen


In diesem Abschnitt erfahren Sie, wie man Zahlen mit Vorzeichen addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert, egal, ob alle Zahlen das gleiche Vorzeichen haben oder ob sie gemischt vorkommen.

Zahlen mit Vorzeichen addieren und subtrahieren


Eins plus eins ergibt zwei. Diese wohlbekannte Rechnung ist das Paradebeispiel für eine Addition von zwei positiven Zahlen. Auch wenn Sie sich noch nie darüber Gedanken gemacht haben, es gilt allgemein:

(+a) + (+b) = +(a + b)

Die Addition zweier negativer Zahlen funktioniert ähnlich. Sie schuldeten Claudia schon sechs Euro und mussten sich noch einmal fünf Euro ausleihen. Nun schulden Sie ihr elf Euro.

(-a) + (-b) = -(a + b)

Wenn die Vorzeichen zweier Zahlen unterschiedlich sind, kann man die Zeichen erst einmal außer Acht lassen und zunächst die Differenz der beiden Zahlen ermitteln. Das ist die Differenz zwischen ihren Beträgen (wobei der Betrag einer Zahl die Zahl ohne ihr Vorzeichen ist). Die Zahl, die weiter von 0 entfernt ist, legt das Vorzeichen der Lösung fest.

Und zum Schluss die Rechenregeln für die Subtraktion: Verwandeln Sie die Subtraktion in eine Addition und schon haben Sie die Aufgabe gelöst.

(+a) - (+b) = (+a) + (-b)
(+a) - (-b) = (+a) + (+b)
(-a) - (+b) = (-a) + (-b)
(-a) - (-b) = (-a) + (+b)

Zahlen mit Vorzeichen multiplizieren und dividieren


Multiplikation und Division von Zahlen mit Vorzeichen sind wirklich sehr einfach - vorausgesetzt, Sie können multiplizieren und dividieren. Die Regeln sind nicht nur leicht, sondern für beide Rechenarten außerdem die gleichen.

  • Beim Multiplizieren und Dividieren von Zahlen mit Vorzeichen gilt: Wenn beide Vorzeichen gleich sind, ist das Ergebnis positiv; wenn die beiden Vorzeichen unterschiedlich sind, ist das Ergebnis negativ:

Algebraische Eigenschaften - eine Skizze


Die Mathematiker haben die Regeln und Eigenschaften in der Algebra entwickelt, damit jeder fleißige Student, engagierte Wissenschaftler, neugierige Schüler und gelangweilte Streber, die an derselben Aufgabe arbeiten, alle dieselbe Lösung erhalten - egal, wo sie sich befinden oder wann sie die Aufgabe lösen. Natürlich wollen Sie nicht, dass sich die Regeln täglich ändern (und wir wollen auch nicht jedes Jahr ein neues Buch schreiben!). Sie brauchen Regelmäßigkeit und Sicherheit - und das gewährleisten die strengen Regeln und Eigenschaften der Algebra, die wir Ihnen in diesem Abschnitt vorstellen.

Bewahren Sie Ordnung - mit dem Kommutativgesetz


  • Das Kommutativgesetz gilt für die Operationen der Addition und Multiplikation. Es besagt, dass Sie die Reihenfolge der Terme in einer Operation ändern können, ohne dass sich das Endergebnis dadurch ändert:

Wenn Sie 2 und 3 addieren, erhalten Sie 5. Wenn Sie 3 und 2 addieren, erhalten Sie ebenfalls 5. Wenn Sie 2 mit 3 multiplizieren, erhalten Sie 6. Wenn Sie 3 mit 2 multiplizieren, erhalten Sie ebenfalls 6.

Algebraische Ausdrücke treten normalerweise in einer bestimmten Reihenfolge auf, die praktisch ist, wenn Sie es mit Variablen und Koeffizienten (Multiplikatoren von Variablen) zu tun haben. Zuerst kommt der Ziffernanteil, gefolgt von den Buchstaben in alphabetischer Reihenfolge. Aber die Eleganz des Kommutativgesetzes ist, dass 2xyz dasselbe ist wie x2zy. Es gibt keinen Grund, den Ausdruck in der zweiten, scheinbar durcheinandergeratenen Darstellung zu schreiben, aber es ist gut zu wissen, dass Sie die Reihenfolge bei Bedarf beliebig ändern können.

Harmonie in der Gruppe - mit dem Assoziativgesetz


  • Wie das Kommutativgesetz (voriger Abschnitt) gilt auch das Assoziativgesetz nur für die Operationen der Addition und Multiplikation. Das Assoziativgesetz besagt, dass Sie die Gruppierung von Operationen verändern können, ohne dass sich dadurch das Ergebnis ändert:

Mithilfe des Assoziativgesetzes der Addition oder Multiplikation können Sie Ausdrücke vereinfachen. Wenn Sie dann bei Bedarf auch noch das Kommutativgesetz anwenden, haben Sie damit eine sehr mächtige Kombination an der Hand. Wenn Sie (x + 14) + (3x + 6) vereinfachen wollen, lassen Sie zunächst die Klammern weg (dank des Assoziativgesetzes). Anschließend vertauschen Sie die beiden mittleren Terme unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Addition. Schließlich ordnen Sie die Terme mithilfe von Klammern neu an und kombinieren die zusammengehörigen Terme:

Die Schritte sind hier äußerst detailliert beschrieben. Sie haben die Aufgabe wahrscheinlich sofort im Kopf gelöst. Wir haben die Schritte so gezeigt, um zu verdeutlichen, wie Kommutativgesetz und Assoziativgesetz kombiniert werden. Jetzt können Sie sie auf komplexere Aufgabenstellungen anwenden.

Das Distributivgesetz - Werte verteilen


  • Das Distributivgesetz besagt, dass Sie jeden Term in einem Ausdruck innerhalb einer Klammer mit dem Koeffizienten außerhalb der Klammer multiplizieren können, ohne den Wert des Ausdrucks zu verändern. Sie brauchen dazu eine einzige Operation, die Multiplikation, die sich über die Terme erstreckt, die Sie addieren und subtrahieren:

Wenn Sie das Distributivgesetz auf die Aufgabenstellung anwenden, machen Sie sich das Leben leichter: Sie verteilen die 12 über die Brüche, indem Sie jeden Bruch mit 12 multiplizieren, und fassen dann die Ergebnisse zusammen:

Es ist viel einfacher, die Lösung mithilfe des Distributivgesetzes zu finden, als alle Brüche auf denselben Nenner 12 zu bringen, sie zu kombinieren und dann mit 12 zu multiplizieren.

Das Distributivgesetz wird auch in umgekehrter Reihenfolge angewandt, wenn Sie eine Zahl ausklammern. Dabei ziehen Sie einen Faktor, der in einer Summe oder Differenz in jedem Term vorkommt, nach vorne und setzen die verbleibenden Teile in eine Klammer:

Auch hier ist der Vorteil klar erkennbar: Statt vier Multiplikationen mit Dezimalzahlen durchzuführen, muss man dank des Ausklammerns nur eine einzige Multiplikation vornehmen. Diese Vorgehensweise ist die Umkehrung des Distributivgesetzes und heißt faktorisieren.

  • Mit dem Distributivgesetz beziehungsweise dem Faktorisieren werden Gleichungen vereinfacht - mit anderen Worten, Sie bereiten sie auf die Lösung vor.

Was Sie über Brüche wissen sollten


Wenn Sie ein Analysis-Buch auf einer beliebigen Seite aufschlagen, dann wird Ihnen mit ziemlicher Sicherheit ein Bruch begegnen. Sie können nicht flüchten. Für den Umgang mit Brüchen brauchen Sie ein paar Regeln.

Ein paar schnelle Regeln


Die erste Regel ist ganz einfach, aber sehr wichtig, weil sie in der Welt der Analysis immer wieder vorkommt:

  • Der Nenner eines Bruchs darf nie 0 sein. So hat den Wert 0, aber ist undefiniert.

Man erkennt ganz leicht, warum undefiniert ist, wenn man betrachtet, wie die Division funktioniert:

Diese Berechnung besagt, dass 2 viermal in 8 passt; mit anderen Worten: 2 + 2 + 2 + 2 = 8. Aber wie viele Nullen bräuchten Sie, um 5 zu erhalten? Dies funktioniert nicht, deshalb können Sie 5 (oder irgendeine andere Zahl) nicht durch 0 dividieren.

Und noch eine schnelle Regel:

  • Das Reziprok einer Zahl oder eines Ausdrucks ist ihr multiplikatives Inverses - eine verrückte Methode zu sagen, dass irgendetwas mit seinem Reziprok multipliziert gleich 1 ist. Um das Reziprok eines Bruchs zu erhalten, kehren Sie ihn um. Das Reziprok von ist also , das Reziprok von 6 (was man auch als schreiben kann) ist und das Reziprok von x - 2 ist .

Brüche...


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