Quantenmechanik

Lehr- und Arbeitsbuch
 
 
Wiley-VCH (Verlag)
  • erschienen am 7. Mai 2020
  • |
  • 820 Seiten
 
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978-3-527-82277-5 (ISBN)
 
Das Lehrbuch zur Quantenmechanik des erfahrenen Hochschullehrers und Autors Friedhelm Kuypers gibt eine verständliche Einführung in eines der faszinierendsten Gebiete der Physik, gespickt mit rund 300 Aufgaben mit ausführlichen Lösungen.
1. Auflage
  • Deutsch
  • 400
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  • 400 s/w Abbildungen
  • 70,40 MB
978-3-527-82277-5 (9783527822775)
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Friedhelm Kuypers unterrichtet seit 1986 Physik und Technische Mechanik für Ingenieure und Naturwissenschaftler an der OTH Regensburg. In seinen Vorlesungen legt er großen Wert auf Veranschaulichungen und hebt die Anwendungen physikalischer Gesetze in Technik und Alltag hervor. Er ist ebenfalls Autor des zweibändigen Lehrbuches "Physik für Ingenieure und Naturwissenschaftler" und der bereits in 10. Auflage erscheinenden "Klassischen Mechanik".
1 EINFÜHRUNG

2 DIE ANFÄNGE DER QUANTENMECHANIK
2.1 Plancksches Strahlungsgesetz 1900
2.2 Der Photoeffekt 1905
2.3 Das Bohrsche Atommodell 1913
2.4 Welleneigenschaften der Materie 1924
2.5 Der Compton-Effekt 1922
2.6 Das Doppelspalt-Experiment
2.7 Leitgedanken
2.8 Aufgaben

3 DIE SCHRÖDINGER-GLEICHUNG
3.1 Aufstellung der Schrödinger-Gleichung 1926
3.2 Stationäre Zustände
3.3 Orts- und Impulsoperator
3.4 Die Kontinuitätsgl
3.5 Leitgedanken
3.6 Aufgaben

4 FREIE WELLENPAKETE
4.1 Klassische Wellenpakete*
4.2 Wellenpakete freier Quantenobjekte
4.3 Interferenz von zwei Wellenpaketen*
4.4 Leitgedanken
4.5 Aufgaben

5 STÜCKWEISE KONSTANTE POTENTIALE
5.1 Unendlich tiefer Potentialtopf
5.2 Potentialstufe
5.3 Wellenpakete an einer Potentialstufe*
5.4 Potentialwall und Tunneleffekt
5.5 Endlich tiefer Potentialtopf
5.6 Abschließende Bemerkungen
5.7 Leitgedanken
5.8 Aufgaben

6 DER HARMONISCHE OSZILLATOR
6.1 Lösung mit Potenzreihen
6.2 Algebraische Lösung mit Leiteroperatoren
6.3 Schwingende Zustände*
6.4 Leitgedanken
6.5 Aufgaben

7 DIE MATHEMATISCHE STRUKTUR
7.1 Der Hilbertraum
7.2 Die Operatoren der Quantenmechanik
7.3 Das Ehrenfestsche Theorem
7.4 Leitgedanken
7.5 Aufgaben

8 MESSPROZESS UND UNBESTIMMTHEITSRELATION
8.1 Der Messprozess
8.2 Allgemeine Unbestimmtheitsrelation
8.3 Unbestimmtheitsrelation für Energie und Zeit
8.4 Wechselwirkungsfreie Messung*
8.5 Probleme der Kopenhagener Quantenmechanik
8.6 Leitgedanken
8.7 Aufgaben

9 DER DREHIMPULSOPERATOR
9.1 Einführung und Motivation
9.2 Eigenwerte des Drehimpulsoperators
9.3 Eigenfunktionen des Bahndrehimpulsoperators
9.4 Leitgedanken
9.5 Aufgaben

10 DAS WASSERSTOFFATOM
10.1 Spektrum des Wasserstoffatoms
10.2 Eigenfunktionen des Wasserstoffatoms
10.3 Leitgedanken
10.4 Aufgaben

11 ELEKTROMAGNETISCHE FELDER
11.1 Hamiltonoperator und Eichinvarianz
11.2 Homogene Magnetfelder
11.3 Der Aharonov-Bohm-Effekt* 1959
11.4 Leitgedanken
11.5 Aufgabe

12 DER SPIN
12.1 Einführung
12.2 Der Stern-Gerlach-Versuch 1922
12.3 Spin-1/2-Teilchen
12.4 Magnetisches Moment des Spins
12.5 Wellenfunktionen mit Spin
12.6 Leitgedanken
12.7 Aufgaben

13 ADDITION VON DREHIMPULSEN
13.1 Einführung und Motivation*
13.2 Addition von zwei Spins mit s = ½
13.3 Addition von Bahndrehimpuls und Spin
13.4 Allgemeine Addition von zwei Drehimpulsen
13.5 Leitgedanken
13.6 Aufgaben

14 ZEITUNABHÄNGIGE STÖRUNGSTHEORIE
14.1 Einführung
14.2 Störung nicht entarteter Niveaus
14.3 Störung entarteter Niveaus
14.4 Feinstruktur des Wasserstoffatoms
14.5 Der Zeeman-Effekt
14.6 Leitgedanken
14.7 Aufgaben

15 VARIATIONSPRINZIP
15.1 Das Variationsprinzip
15.2 Leitgedanken
15.3 Aufgaben

16 IDENTISCHE TEILCHEN
16.1 Unterscheidbare Teilchen
16.2 Identische Teilchen
16.3 Symmetrisierung und Antisymmetrisierung
16.4 Leitgedanken
16.5 Aufgaben

17 MEHRELEKTRONENATOME
17.1 Das Heliumatom
17.2 Das Periodensystem*
17.3 Die Hartree-Methode
17.4 Leitgedanken
17.5 Aufgaben

18 MOLEKÜLE
18.1 Das ionisierte Wasserstoffmolekül
18.2 Das Wasserstoffmolekül
18.3 Hybridorbitale*
18.4 Van-der-Waals-Kräfte*
18.5 Leitgedanken
18.6 Aufgaben

19 KRISTALLE
19.1 Klassische Frequenzaufspaltung
19.2 Energiebänder in Kristallen
19.3 Leitgedanken
19.4 Aufgaben

20 ZEITABHÄNGIGE STÖRUNGSTHEORIE
20.1 Allgemeine Störungsentwicklung
20.2 Absorption und induzierte Emission
20.3 Auswahlregeln für elektrische Dipolübergänge
20.4 Spontane Emission und Einsteinkoeffizienten
20.5 Plötzliche Parameteränderung*
20.6 Leitgedanken
20.7 Aufgaben

21 DER DICHTEOPERATOR
21.1 Der Dichteoperator reiner Gesamtheiten
21.2 Der Dichteoperator gemischter Gesamtheiten
21.3 Leitgedanken
21.4 Aufgaben

22 VERSCHRÄNKUNG
22.1 Verschränkung
22.2 No-Cloning-Theorem 1982
22.3 Verschränkung und Interferenz
22.4 Dekohärenz
22.5 Quantenkryptographie*
22.6 Leitgedanken
22.7 Aufgaben

23 EPR UND BELLSCHE UNGLEICHUNGEN
23.1 Das EPR-Paradoxon
23.2 Die Bellschen Ungleichungen
23.3 Leitgedanken
2

2
Die Anfänge der Quantenmechanik


Am Ende des 19. Jahrhunderts gehörten die Spektren der Wärmestrahlung und der Atome zu den größten Rätseln der Physik. Es dauerte etwa 30 Jahre, bis man sich nach vielen Irrungen von den Gesetzen der klassischen Physik frei machte und die Probleme mit einer völlig neuartigen Theorie, eben der Quantenmechanik in den Griff bekam. Das erste Drittel des 20. Jahrhunderts war wohl die aufregendste Zeit in der Physikgeschichte.

Dieses einfache und knapp geschriebene Kapitel beschreibt die wichtigsten Entwicklungen, die in den Jahren 1900-1924 den Aufbau der Quantenmechanik vorbereiteten. Zahlreiche Zitate verdeutlichen das oftmals verzweifelte Ringen der Physiker um die richtige Theorie sowie ihr ungläubiges Staunen angesichts völlig neuer Ideen. Besonders wichtig sind die de-Broglie-Gln. (2.4-1a/b) und das Doppelspalt-Experiment.

  1. 2.1 Plancksches Strahlungsgesetz: Max Planck konnte das Spektrum der Wärmestrahlung im Jahre 1900 nur durch den bahnbrechenden Kunstgriff erklären, dass die Wärmestrahlung in diskreten Portionen abgegeben und absorbiert wird. Dabei entdeckte er das Plancksche Wirkungsquantum h. Dies war die Geburtsstunde der Quantenmechanik.
  2. 2.2 Der Photoeffekt: 1905 erklärte Albert Einstein den Photoeffekt, also die Freisetzung von Elektronen aus bestrahlter Materie. Dabei schlug er anstelle der Planckschen Hypothese, wonach Emission und Absorption der Wände eines Körpers quantisiert sind, vor, dass die Strahlung selbst quantisiert ist, also aus Photonen mit der Energie E = h f besteht.
  3. 2.3 Das Bohrsche Atommodell: Im Rutherfordschen Atommodell von 1911 laufen die Elektronen um einen positiv geladenen Kern. Nach der klassischen Physik müssten die beschleunigten Elektronen aufgrund von Strahlungsverlusten sehr schnell in den Kern stürzen. 1913 konnte Niels Bohr dieses Problem lösen, indem er den Bahndrehimpuls durch die postulierte Gleichung me rv = nh/(2p) quantisierte und so nur bestimmte, strahlungslose Elektronenbahnen zuließ. Das Modell kann nur das Wasserstoffspektrum erklären.
  4. 2.4 Welleneigenschaften der Materie: Nach der Einsteinschen Deutung des Photoeffektes hat Licht nicht nur Wellen-, sondern auch Teilcheneigenschaften. 1924 vermutete Louis de Broglie, dass Quantenobjekte, die man bis dahin für Teilchen gehalten hatte, umgekehrt auch Welleneigenschaften haben. Danach gilt: (2.4-1/a)
  5. 2.5 Der Compton-Effekt: Compton beschoss nahezu freie Elektronen mit Röntgenstrahlen und bestätigte die Gln. (2.4-1a/b) und die Quantennatur der Röntgenstrahlung.
  6. 2.6 Das Doppelspalt-Experiment: Alle Quantenobjekte haben zugleich Teilchen- und Welleneigenschaften. Dieser Dualismus zeigt sich im Doppelspalt-Experiment besonders deutlich. Photonen oder Elektronen durchlaufen als Wellen beide Spalten zugleich und agieren beim punktförmigen Aufschlag auf dem Schirm wie Teilchen. EinInterferenzmuster tritt nur auf, wenn der Weg der Elektronen nicht registriert wird. Ortskenntnis und Interferenz schließen also einander aus.

2.1 Plancksches Strahlungsgesetz 1900


Warme Körper geben eine Wärme- oder Temperaturstrahlung ab, deren spektrale Verteilung und deren gesamte Strahlungsleistung vom Absorptionsgrad der Ober?äche und vor allem von der Temperatur abhängen.

Am einfachsten lässt sich die Strahlung von schwarzen Körpern untersuchen, also von Körpern, die alle von außen einfallende Strahlung vollständig absorbieren und daher nur von ihnen selbst erzeugte Strahlung aussenden. Die Wärmestrahlung schwarzerKörperhängt nur von der Temperatur ab und nicht von Materialeigenschaften.

Perfekt schwarze Körper lassen sich nur durch Hohlräume mit einer kleinen Öffnung und einer dunklen inneren Ober?äche realisieren. Sollte ein einfallender Strahl zufällig wieder aus der Öffnung austreten, so hat er nach vielen inneren Re?exionen fast keine Energie mehr. Durch die Öffnung tritt keine re?ektierte Fremdstrahlung aus, sondern nur die vom Körper selbst erzeugte Wärmestrahlung.

Abb. 2.1-1 ?-Abhängigkeit der spektralen Leistungsdichte eines schwarzen Strahlers bei dreiverschiedenenTemperaturen.

Ende des 19. Jahrhunderts maßen Lummer und Pringsheim die Energieverteilung im Spektrum der Wärmestrahlung schwarzer Körper. Sie beheizten die Wände eines Hohlraumes und untersuchten die durch die Öffnung austretende Strahlung. Abbil­dung 2.1-1 zeigt die gemessene spektrale Leistungsdichte F?. Die Bedeutung von F? ergibt sich aus folgender Aussage:

Viele Physiker versuchten, die gemessenen Kurven theoretisch zu erklären. Vergeblich. Im Jahre 1900 konnte Max Planck die experimentellen Befunde zunächst nur durch eine empirisch gefundene Gleichung wiedergeben. Er entdeckte die Plancksche Strahlungsformel:

(2.1-1)

mit der Boltzmann-Konstanten 1

T = absolute Temperatur A = ebene Fläche des Strahlers.

In der Gleichung wird das Plancksche Wirkungsquantum h als eine neue Naturkonstante eingeführt. Das Wirkungsquantum h hat die Dimension einer Wirkung (Energie · Zeit) und ist die zentrale Größe der Quantenmechanik. Die Strahlungsformel (2.1-1) gibt die experimentellen Ergebnisse richtig wieder für den exakten, im November 2018 festgelegten Wert

(2.1-2)

Theoretisch konnte Max Planck die Strahlungsformel Gl. (2.1-1) zwei Monate später nur ableiten, indem er sich die Atome der Hohlraumwände als harmonische Oszillatoren vorstellte (soweit war er noch im Rahmen der klassischen Physik) und dann in einer bahnbrechenden Hypothese annahm, dass die Hohlraumwände die Energie nicht kontinuierlich emittieren und absorbieren, sondern nur in Quanten mit der Energie

(2.1-3)

Die ausgetauschten Energien E = h f sind also gequantelt. Die Hypothese sagt nicht, dass das Licht selbst oder die Oszillatoren quantisiert sind, sondern nur, dass der Energieaustausch zwischen Wänden und Strahlung - aufgrund einer unbekannten Gesetzmäßigkeit - quantisiert ist.2 Die Energiepakete mit der Energie h f heißen Lichtteilchen oder Photonen.3

Die Plancksche Hypothese revolutionierte das Weltbild der Physik und markierte die Geburtsstunde der Quantenmechanik. Allerdings war sie den Physikern anfangs äußerst suspekt; keiner erkannte ihren ernsten Hintergrund. Selbst Max Planck sah diese Hypothese nur als eine Arbeitshypothese, als einen Kunstgriff an. Die Größe h war für ihn nur eine Hilfsgröße; daher der Buchstabe h. Diese ablehnende Einstellung änderte er auch nicht, als Albert Einstein 1905 das elektromagnetische Feld selbst quantisierte und den Photoeffekt mit der Einführung von Lichtteilchen und mit der Gl. (2.1-3) erklären konnte.

2.2 Der Photoeffekt 1905


Im Jahre 1887 entdeckte Heinrich Hertz den sog. Photoeffekt. Hertz bestrahlte eine Zinkplatte (Photokathode) mit ultraviolettem Licht und beobachtete den Austritt von Elektronen. Abbildung 2.2-1 zeigt einen Versuchsaufbau: Eine metallische Photokathode und eine Anode befinden sich in einem evakuierten Glaskolben und sind mit ungewöhnlicher Polung an eine Spannungsquelle angeschlossen: Der Pluspol ist mit der Kathode und der Minuspol mit der Anode verbunden. Daher erreichen nur diejenigen aus der Kathode herausgeschlagenen Elektronen die Anode und erzeugen einen Strom im Amperemeter A, deren kinetische Energie beim Austritt aus der Kathode mindestens so groß ist wie die potentielle Energie e0 U im elektrischen Feld. Dabei sind U die angelegte Gegenspannung und

die Elementarladung. Die kleinste Gegenspannung U, bei der kein Strom im Amperemeter gemessen wird, heißt Bremsspannung UB.

Abb. 2.2-1 Anode und Kathodebefinden sichin einem evakuiertenGlaskolben.

Im Experiment werden die Intensität und die Frequenz f des (nahezu) monochromatischen Lichtes sowie die Spannung U geändert. Dabei werden folgende Beobachtungen gemacht:

  • Sogar bei verschwindender Gegenspannung (U = 0) setzt die Strahlung bei Frequenzen unterhalb einer bestimmten Grenzfrequenz fG keine Elektronen frei - auch nicht bei langer Bestrahlungszeit oder großer Intensität.
  • Die Zahl der pro Sekunde freigesetzten Elektronen steigt mit der Intensität der Strahlung.
  • Sogar bei sehr schwacher Strahlung werden die erstenElektronen ohnemessbareZeitverzögerung t ausgelöst (t < 10-9 s).
  • Die Bremsspannung UB hängt nicht von der Intensität der Strahlung ab und steigt linear mit der Frequenz f der Strahlung. Mit anderen Worten: Die kinetische Energie der herausgeschlagenen Elektronen wächst linear mit der Frequenz der...

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