Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 1

I Allgemeine Grundlagen.- 1 Einige grundlegende Begriffe über Mengen.- 1.1 Definition und Darstellung einer Menge.- 1.2 Mengenoperationen.- 2 Die Menge der reellen Zahlen.- 2.1 Darstellung der reellen Zahlen und ihrer Eigenschaften.- 2.2 Anordnung der Zahlen, Ungleichung, Betrag.- 2.3 Teilmengen und Intervalle.- 3 Gleichungen.- 3.1 Lineare Gleichungen.- 3.2 Quadratische Gleichungen.- 3.3 Gleichungen 3. und höheren Grades.- 3.3.1 Allgemeine Vorbetrachtung.- 3.3.2 Kubische Gleichungen vom speziellen Typ ax3 + bx2 + cx = 0.- 3.3.3 Bi-quadratische Gleichungen.- 3.4 Wurzelgleichungen.- 3.5 Betragsgleichungen.- 3.5.1 Definition der Betragsfunktion.- 3.5.2 Analytische Lösung einer Betragsgleichung durch Fallunterscheidung (Beispiel).- 3.5.3 Lösung einer Betragsgleichung auf halb-graphischem Wege (Beispiel).- 4 Ungleichungen.- 5 Lineare Gleichungssysteme.- 5.1 Ein einführendes Beispiel.- 5.2 Der Gaußsche Algorithmus.- 5.3 Ein Anwendungsbeispiel: Berechnung eines elektrischen Netzwerkes.- 6 Der Binomische Lehrsatz.- Übungsaufgaben.- Zu Abschnitt 1 und 2.- Zu Abschnitt 3.- Zu Abschnitt 4.- Zu Abschnitt 5.- Zu Abschnitt 6.- II Vektoralgebra.- 1 Grundbegriffe.- 1.1 Definition eines Vektors.- 1.2 Gleichheit von Vektoren.- 1.3 Parallele, anti-parallele und kollineare Vektoren.- 1.4 Vektoroperationen.- 1.4.1 Addition von Vektoren.- 1.4.2 Subtraktion von Vektoren.- 1.4.3 Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar.- 2 Vektorrechnung in der Ebene.- 2.1 Komponentendarstellung eines Vektors.- 2.2 Darstellung der Vektoroperationen.- 2.2.1 Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar.- 2.2.2 Addition und Subtraktion von Vektoren.- 2.3 Skalarprodukt zweier Vektoren.- 2.3.1 Definition und Berechnung eines Skalarproduktes.- 2.3.2 Winkel zwischen zwei Vektoren.- 2.4 Anwendungsbeispiel: Resultierende eines ebenen Kräftesystems.- 3 Vektorrechnung im 3-dimensionalen Raum.- 3.1 Komponentendarstellung eines Vektors.- 3.2 Darstellung der Vektoroperationen.- 3.2.1 Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar.- 3.2.2 Addition und Subtraktion von Vektoren.- 3.3 Skalarprodukt zweier Vektoren.- 3.3.1 Definition und Berechnung eines Skalarproduktes.- 3.3.2 Winkel zwischen zwei Vektoren.- 3.3.3 Richtungswinkel eines Vektors.- 3.3.4 Projektion eines Vektors auf einen zweiten Vektor.- 3.3.5 Ein Anwendungsbeispiel: Arbeit einer Kraft.- 3.4 Vektorprodukt zweier Vektoren.- 3.4.1 Definition und Berechnung eines Vektorproduktes.- 3.4.2 Anwendungsbeispiele.- 3.4.2.1 Drehmoment (Moment einer Kraft).- 3.4.2.2 Bewegung von Ladungsträgern in einem Magnetfeld (Lorentz-Kraft).- 3.5 Spatprodukt (gemischtes Produkt).- 4 Anwendungen in der Geometrie.- 4.1 Vektorielle Darstellung einer Geraden.- 4.1.1 Punkt-Richtungs-Form einer Geraden.- 4.1.2 Zwei-Punkte-Form einer Geraden.- 4.1.3 Abstand eines Punktes von einer Geraden.- 4.1.4 Abstand zweier paralleler Geraden.- 4.1.5 Abstand zweier windschiefer Geraden.- 4.1.6 Schnittpunkt und Schnittwinkel zweier Geraden.- 4.2 Vektorielle Darstellung einer Ebene.- 4.2.1 Punkt-Richtungs-Form einer Ebene.- 4.2.2 Drei-Punkte-Form einer Ebene.- 4.2.3 Gleichung einer Ebene senkrecht zu einem Vektor.- 4.2.4 Abstand eines Punktes von einer Ebene.- 4.2.5 Abstand einer Geraden von einer Ebene.- 4.2.6 Schnittpunkt und Schnittwinkel einer Geraden mit einer Ebene.- 4.2.7 Abstand zweier paralleler Ebenen.- 4.2.8 Schnittgerade und Schnittwinkel zweier Ebenen.- Übungsaufgaben.- Zu Abschnitt 2 und 3.- Zu Abschnitt 4.- III Funktionen und Kurven.- 1 Definition und Darstellung einer Funktion.- 1.1 Definition einer Funktion.- 1.2 Darstellungsformen einer Funktion.- 1.2.1 Analytische Darstellung.- 1.2.2 Darstellung durch eine Wertetabelle (Funktionstafel).- 1.2.3 Graphische Darstellung.- 1.2.4 Parameterdarstellung einer Funktion.- 2 Allgemeine Funktionseigenschaften.- 2.1 Nullstellen.- 2.2 Symmetrieverhalten.- 2.3 Monotonie.- 2.4 Periodizität.- 2.5 Umkehrfunktion oder inverse Funktion.- 3 Koordinatentransformationen.- 3.1 Ein einführendes Beispiel.- 3.2 Parallelverschiebung eines kartesischen Koordinatensystems.- 3.3 Übergang von kartesischen Koordinaten zu Polarkoordinaten.- 3.3.1 Definition der Polarkoordinaten.- 3.3.2 Darstellung einer Kurve in Polarkoordinaten.- 4 Grenzwert und Stetigkeit einer Funktion.- 4.1 Reelle Zahlenfolgen.- 4.1.1 Definition und Darstellung einer reellen Zahlenfolge.- 4.1.2 Grenzwert einer Folge.- 4.2 Grenzwert einer Funktion.- 4.2.1 Grenzwert einer Funktion für x ? x0.- 4.2.2 Grenzwert einer Funktion für x ? ±?.- 4.2.3 Rechenregeln für Grenzwerte.- 4.3 Stetigkeit einer Funktion.- 5 Ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen).- 5.1 Definition einer ganzrationalen Funktion.- 5.2 Konstante und lineare Funktionen.- 5.3 Quadratische Funktionen.- 5.4 Polynomfunktionen höheren Grades.- 5.5 Homer-Schema und Nullstellenberechnung einer Polynomfunktion.- 5.6 Interpolationspolynome.- 5.6.1 Allgemeine Vorbetrachtung.- 5.6.2 Interpolationspolynom von Newton.- 5.7 Ein Anwendungsbeispiel: Biegelinie eines Balkens.- 6 Gebrochenrationale Funktionen.- 6.1 Definition einer gebrochenrationalen Funktion.- 6.2 Nullstellen, Definitionslücken, Pole.- 6.3 Asymptotisches Verhalten einer gebrochenrationalen Funktion im Unendlichen.- 6.4 Ein Anwendungsbeispiel: Kapazität eines Kugelkondensators.- 7 Potenz- und Wurzelfunktionen.- 7.1 Potenzfunktionen mit ganzzahligen Exponenten.- 7.2 Wurzelfunktionen.- 7.3 Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten.- 7.4 Ein Anwendungsbeispiel: Beschleunigung eines Elektrons in einem elektrischen Feld.- 8 Algebraische Funktionen.- 8.1 Definition einer algebraischen Funktion.- 8.2 Gleichungen der Kegelschnitte.- 8.2.1 Darstellung eines Kegelschnitts durch eine algebraische Gleichung 2. Grades mit konstanten Koeffizienten.- 8.2.2 Gleichungen eines Kreises.- 8.2.3 Gleichungen einer Ellipse.- 8.2.4 Gleichungen einer Hyperbel.- 8.2.5 Gleichungen einer Parabel.- 8.2.6 Beispiele zu den Kegelschnitten.- 8.3 Ein Anwendungsbeispiel: Erzwungene Schwingung eines mechanischen Systems.- 9 Trigonometrische Funktionen.- 9.1 Definitionen und Grundbegriffe.- 9.2 Sinus- und Kosinusfunktion.- 9.3 Tangens- und Kotangensfunktion.- 9.4 Wichtige Beziehungen zwischen den trigonometrischen Funktionen.- 9.5 Anwendungen in der Schwingungslehre.- 9.5.1 Harmonische Schwingungen (Sinusschwingungen).- 9.5.1.1 Die allgemeine Sinus- und Kosinusfunktion.- 9.5.1.2 Harmonische Schwingung eines Federpendels (Feder-Masse-Schwingers).- 9.5.2 Darstellung von Schwingungen im Zeigerdiagramm.- 9.5.3 Superposition (Überlagerung) gleichfrequenter Schwingungen.- 9.5.4 Lissajous-Figuren.- 10 Arkusfunktionen.- 10.1 Das Problem der Umkehrung trigonometrischer Funktionen.- 10.2 Arkussinusfunktion.- 10.3 Arkuskosinusfunktion.- 10.4 Arkustanges- und Arkuskotangensfunktion.- 10.5 Trigonometrische Gleichungen.- 11 Exponentialfunktionen.- 11.1 Grundbegriffe.- 11.2 Definition und Eigenschaften einer Exponentialfunktion.- 11.3 Spezielle, in den Anwendungen häufig auftretende Funktionstypen.- 11.3.1 Abklingfunktionen.- 11.3.2 Sättigungsfunktionen.- 11.3.3 Darstellung aperiodischer Schwingungsvorgänge durch e-Funktionen.- 11.3.4 Gauß-Funktionen.- 12 Logarithmusfunktionen.- 12.1 Grundbegriffe.- 12.2 Definition und Eigenschaften einer Logarithmusfunktion.- 12.3 Exponential- und Logarithmusgleichungen.- 13 Hyperbel- und Areafunktionen.- 13.1 Hyperbelfunktionen.- 13.1.1 Definition der Hyperbelfunktionen.- 13.1.2 Die Hyperbelfunktionen y = sinh x und y = cosh x.- 13.1.3 Die Hyperbelfunktionen y = tanh x und y = coth x.- 13.1.4 Wichtige Beziehungen zwischen den hyperbolischen Funktionen.- 13.2 Areafunktionen.- 13.2.1 Definition der Areafunktionen.- 13.2.2 Die Areafunktionen y = arsinh x und y = arcosh x.- 13.2.3 Die Areafunktionen y = artanh x und y = arcoth x.- 13.2.4 Darstellung der Areafunktionen durch Logarithmusfunktionen.- 13.2.5 Ein Anwendungsbeispiel: Freier Fall unter Berücksichtigung des Luftwiderstandes.- Übungsaufgaben.- Zu Abschnitt 1.- Zu Abschnitt 2.- Zu Abschnitt 3.- Zu Abschnitt 4.- Zu Abschnitt 5.- Zu Abschnitt 6.- Zu Abschnitt 7.- Zu Abschnitt 8.- Zu Abschnitt 9 und 10.- Zu Abschnitt 11, 12 und 13.- IV Differentialrechnung.- 1 Differenzierbarkeit einer Funktion.- 1.1 Das Tangentenproblem.- 1.2 Ableitung einer Funktion.- 1.3 Ableitung der elementaren Funktionen.- 2 Ableitungsregeln.- 2.1 Faktorregel.- 2.2 Summenregel.- 2.3 Produktregel.- 2.4 Quotientenregel.- 2.5 Kettenregel.- 2.6 Logarithmische Ableitung.- 2.7 Ableitung der Umkehrfunktion.- 2.8 Implizite Differentiation.- 2.9 Differential einer Funktion.- 2.10 Höhere Ableitungen.- 2.11 Ableitung einer in der Parameterform dargestellten Funktion (Kurve).- 2.12 Anstieg einer in Polarkoordinaten dargestellten Kurve.- 2.13 Einfache Anwendungsbeispiele aus Physik und Technik.- 2.13.1 Bewegung eines Massenpunktes (Geschwindigkeit, Beschleunigung).- 2.13.2 Induktionsgesetz.- 2.13.3 Elektrischer Schwingkreis.- 3 Anwendungen der Differentialrechnung.- 3.1 Tangente und Normale.- 3.2 Linearisierung einer Funktion.- 3.3 Charakteristische Kurvenpunkte.- 3.3.1 Geometrische Vorbetrachtungen.- 3.3.2 Krümmung einer ebenen Kurve.- 3.3.3 Relative oder lokale Extremwerte.- 3.3.4 Wendepunkte, Sattelpunkte.- 3.3.5 Ergänzungen.- 3.4 Extremwertaufgaben.- 3.5 Kurvendiskussion.- 3.6 Näherungsweise Lösung einer Gleichung nach dem Tangentenverfahren von Newton.- 3.6.1 Iterationsverfahren.- 3.6.2 Tangentenverfahren von Newton.- Übungsaufgaben.- Zu Abschnitt 1.- Zu Abschnitt 2.- Zu Abschnitt 3.- V Integralrechnung.- 1 Integration als Umkehrung der Differentiation.- 2 Das bestimmte Integral als Flächeninhalt.- 2.1 Ein einführendes Beispiel.- 2.2 Das bestimmte Integral.- 3 Unbestimmtes Integral und Flächenfunktion.- 4 Der Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung.- 5 Grund- oder Stammintegrale.- 6 Berechnung bestimmter Integrale unter Verwendung einer Stammfunktion.- 7 Elementare Integrationsregeln.- 8 Integrationsmethoden.- 8.1 Integration durch Substitution.- 8.1.1 Ein einführendes Beispiel.- 8.1.2 Spezielle Integralsubstitutionen.- 8.2 Partielle Integration oder Produktintegration.- 8.3 Integration einer echt gebrochenrationalen Funktion durch Partialbruchzerlegung des Integranden.- 8.3.1 Partialbruchzerlegung.- 8.3.2 Integration der Partialbrüche.- 8.4 Numerische Integrationsmethoden.- 8.4.1 Trapezformel.- 8.4.2 Simpsonsche Formel.- 9 Uneigentliche Integrale.- 10 Anwendungen der Integralrechnung.- 10.1 Einfache Beispiele aus Physik und Technik.- 10.1.1 Integration der Bewegungsgleichung.- 10.1.2 Biegelinie (elastische Linie) eines einseitig eingespannten Balkens.- 10.1.3 Spannung zwischen zwei Punkten eines elektrischen Feldes.- 10.2 Flächeninhalt.- 10.2.1 Bestimmtes Integral und Flächeninhalt. Ergänzungen.- 10.2.2 Flächeninhalt zwischen zwei Kurven.- 10.3 Volumen eines Rotationskörpers (Rotationsvolumen).- 10.4 Bogenlänge einer ebenen Kurve.- 10.5 Mantelfläche eines Rotationskörpers (Rotationsfläche).- 10.6 Arbeits- und Energiegrößen.- 10.7 Lineare und quadratische Mittelwerte.- 10.8 Schwerpunkt homogener Flächen und Körper.- 10.8.1 Grundbegriffe.- 10.8.2 Schwerpunkt einer homogenen ebenen Fläche.- 10.8.3 Schwerpunkt eines homogenen Rotationskörpers.- 10.9 Massenträgheitsmomente.- 10.9.1 Grundbegriffe und einfache Beispiele.- 10.9.2 Satz von Steiner.- 10.9.3 Massenträgheitsmoment eines homogenen Rotationskörpers.- Übungsaufgaben.- Zu Abschnitt 1 bis 7.- Zu Abschnitt 8.- Zu Abschnitt 9.- Zu Abschnitt 10.- VI Potenzreihenentwicklungen.- 1 Unendliche Reihen.- 1.1 Ein einführendes Beispiel.- 1.2 Grundbegriffe.- 1.2.1 Definition einer unendlichen Reihe.- 1.2.2 Konvergenz und Divergenz einer unendlichen Reihe.- 1.3 Konvergenzkriterien.- 1.3.1 Quotientenkriterium.- 1.3.2 Leibnizsches Konvergenzkriterium für alternierende Reihen.- 2 Potenzreihen.- 2.1 Definition einer Potenzreihe.- 2.2 Konvergenzverhalten einer Potenzreihe.- 2.3 Eigenschaften der Potenzreihen.- 3 Taylor-Reihen.- 3.1 Ein einführendes Beispiel.- 3.2 Potenzreihenentwicklung einer Funktion.- 3.2.1 Mac Laurinsche Reihe.- 3.2.2 Taylorsche Reihe.- 3.2.3 Tabellarische Zusammenstellung wichtiger Potenzreihenentwicklungen.- 3.3 Anwendungen.- 3.3.1 Näherungspolynome einer Funktion.- 3.3.2 Integration durch Potenzreihenentwicklung des Integranden.- 3.3.3 Grenzwertregel von Bernoulli und de L'Hospital.- 3.4 Ein Anwendungsbeispiel: Freier Fall unter Berücksichtigung des Luftwiderstandes.- Übungsaufgaben.- Zu Abschnitt 1.- Zu Abschnitt 2.- Zu Abschnitt 3.- Anhang: Lösungen der Übungsaufgaben.- I Allgemeine Grundlagen.- Abschnitt 1 und 2.- Abschnitt 3.- Abschnitt 4.- Abschnitt 5.- Abschnitt 6.- II Vektoralgebra.- Abschnitt 2 und 3.- Abschnitt 4.- III Funktionen und Kurven.- Abschnitt 1.- Abschnitt 2.- Abschnitt 3.- Abschnitt 4.- Abschnitt 5.- Abschnitt 6.- Abschnitt 7.- Abschnitt 8.- Abschnitt 9 und 10.- Abschnitt 11, 12 und 13.- IV Differentialrechnung.- Abschnitt 1.- Abschnitt 2.- Abschnitt 3.- V Integralrechnung.- Abschnitt 1 bis 7.- Abschnitt 8.- Abschnitt 9.- Abschnitt 10.- VI Potenzreihenentwicklungen.- Abschnitt 1.- Abschnitt 2.- Abschnitt 3.- Literaturhinweise.- Sachwortverzeichnis.